Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A ár...
Responda: Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é
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Por Matheus Fernandes em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: a)
Um tetraedro regular é um poliedro com quatro faces equiláteras. A questão informa que seus vértices são também vértices de um cubo de aresta 2.
Primeiro, vamos identificar quais vértices do cubo formam um tetraedro regular. Um cubo de aresta 2 tem vértices nas coordenadas (0,0,0), (0,0,2), (0,2,0), (0,2,2), (2,0,0), (2,0,2), (2,2,0) e (2,2,2).
Um tetraedro regular pode ser formado pelos vértices (0,0,0), (2,2,0), (2,0,2) e (0,2,2). Esses quatro pontos são equidistantes entre si, formando um tetraedro regular.
Para calcular a área de uma face, que é um triângulo equilátero, precisamos calcular a distância entre dois vértices adjacentes do tetraedro.
A distância entre (0,0,0) e (2,2,0) é raiz de (2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2 = raiz de 4 + 4 = raiz de 8 = 2 raiz de 2.
Assim, o lado do triângulo equilátero é 2 raiz de 2.
A área de um triângulo equilátero de lado L é (L^2 * raiz de 3) / 4.
Substituindo L = 2 raiz de 2, temos:
Area = ((2 raiz de 2)^2 * raiz de 3) / 4 = (4 * 2 * raiz de 3) / 4 = (8 raiz de 3) / 4 = 2 raiz de 3.
Portanto, a área de uma face do tetraedro é 2 raiz de 3, que corresponde à alternativa a).
Checagem dupla: calculamos novamente a distância e a área e confirmamos o resultado. O gabarito oficial e a resposta mais comentada também indicam a alternativa a).
Um tetraedro regular é um poliedro com quatro faces equiláteras. A questão informa que seus vértices são também vértices de um cubo de aresta 2.
Primeiro, vamos identificar quais vértices do cubo formam um tetraedro regular. Um cubo de aresta 2 tem vértices nas coordenadas (0,0,0), (0,0,2), (0,2,0), (0,2,2), (2,0,0), (2,0,2), (2,2,0) e (2,2,2).
Um tetraedro regular pode ser formado pelos vértices (0,0,0), (2,2,0), (2,0,2) e (0,2,2). Esses quatro pontos são equidistantes entre si, formando um tetraedro regular.
Para calcular a área de uma face, que é um triângulo equilátero, precisamos calcular a distância entre dois vértices adjacentes do tetraedro.
A distância entre (0,0,0) e (2,2,0) é raiz de (2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2 = raiz de 4 + 4 = raiz de 8 = 2 raiz de 2.
Assim, o lado do triângulo equilátero é 2 raiz de 2.
A área de um triângulo equilátero de lado L é (L^2 * raiz de 3) / 4.
Substituindo L = 2 raiz de 2, temos:
Area = ((2 raiz de 2)^2 * raiz de 3) / 4 = (4 * 2 * raiz de 3) / 4 = (8 raiz de 3) / 4 = 2 raiz de 3.
Portanto, a área de uma face do tetraedro é 2 raiz de 3, que corresponde à alternativa a).
Checagem dupla: calculamos novamente a distância e a área e confirmamos o resultado. O gabarito oficial e a resposta mais comentada também indicam a alternativa a).
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