Questões Matemática Progressões 102 Progressão Geométrica PG
As notas de três alunos, Marta, Cláudio e Felipe, formam, nesta ordem, uma progres...
Responda: As notas de três alunos, Marta, Cláudio e Felipe, formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Considerando que a soma das notas de Cláudio e Felipe é 108 e que o produto das três notas é i...
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Por Letícia Cunha em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: d)
Temos três notas de alunos: Marta, Cláudio e Felipe, que formam uma progressão geométrica (PG) nessa ordem. Isso significa que, se a nota de Marta for a, e a razão da PG for r, então as notas são: a (Marta), a*r (Cláudio) e a*r² (Felipe).
Sabemos que a soma das notas de Cláudio e Felipe é 108, ou seja: a*r + a*r² = 108. Podemos fatorar a*r: a*r(1 + r) = 108.
Também sabemos que o produto das três notas é 46.656, ou seja: a * a*r * a*r² = a³ * r³ = 46.656.
Da equação do produto, temos que (a*r)³ = 46.656, pois a³ * r³ = (a*r)³. Logo, a*r = raiz cúbica de 46.656.
Calculando a raiz cúbica de 46.656, encontramos 36, pois 36³ = 46.656.
Assim, a*r = 36.
Voltando à soma: a*r(1 + r) = 108, substituindo a*r por 36, temos 36(1 + r) = 108, ou seja, 1 + r = 108 / 36 = 3.
Logo, r = 2.
Agora, a*r = 36, então a*2 = 36, o que dá a = 18.
Finalmente, a nota de Felipe é a*r² = 18 * 2² = 18 * 4 = 72.
Portanto, a nota de Felipe é 72, alternativa d).
Checagem dupla:
Revisando, as notas são 18 (Marta), 36 (Cláudio), 72 (Felipe).
Soma de Cláudio e Felipe: 36 + 72 = 108, correto.
Produto: 18 * 36 * 72 = 46656, correto.
Tudo confere com os dados do problema.
Temos três notas de alunos: Marta, Cláudio e Felipe, que formam uma progressão geométrica (PG) nessa ordem. Isso significa que, se a nota de Marta for a, e a razão da PG for r, então as notas são: a (Marta), a*r (Cláudio) e a*r² (Felipe).
Sabemos que a soma das notas de Cláudio e Felipe é 108, ou seja: a*r + a*r² = 108. Podemos fatorar a*r: a*r(1 + r) = 108.
Também sabemos que o produto das três notas é 46.656, ou seja: a * a*r * a*r² = a³ * r³ = 46.656.
Da equação do produto, temos que (a*r)³ = 46.656, pois a³ * r³ = (a*r)³. Logo, a*r = raiz cúbica de 46.656.
Calculando a raiz cúbica de 46.656, encontramos 36, pois 36³ = 46.656.
Assim, a*r = 36.
Voltando à soma: a*r(1 + r) = 108, substituindo a*r por 36, temos 36(1 + r) = 108, ou seja, 1 + r = 108 / 36 = 3.
Logo, r = 2.
Agora, a*r = 36, então a*2 = 36, o que dá a = 18.
Finalmente, a nota de Felipe é a*r² = 18 * 2² = 18 * 4 = 72.
Portanto, a nota de Felipe é 72, alternativa d).
Checagem dupla:
Revisando, as notas são 18 (Marta), 36 (Cláudio), 72 (Felipe).
Soma de Cláudio e Felipe: 36 + 72 = 108, correto.
Produto: 18 * 36 * 72 = 46656, correto.
Tudo confere com os dados do problema.
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