Equipe Gabarite
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: a)
O problema apresenta uma doença com prevalência de 50% em uma população não vacinada e uma vacina com eficácia de 98%. A meta é que a probabilidade de uma menina desenvolver a doença seja no máximo 5,9%.
Para resolver, devemos calcular a cobertura mínima de vacinação necessária para que a prevalência da doença na população seja reduzida a 5,9%.
Se p é a proporção vacinada, então a prevalência após vacinação será dada por:
Prevalência = (1 - p) * 0,5 + p * 0,5 * (1 - 0,98)
O primeiro termo representa as pessoas não vacinadas que têm 50% de chance de contrair a doença.
O segundo termo representa as pessoas vacinadas que ainda têm 2% de chance de contrair a doença (100% - 98% de eficácia).
Queremos que essa prevalência seja no máximo 5,9% (0,059):
(1 - p) * 0,5 + p * 0,5 * 0,02 ≤ 0,059
Simplificando:
0,5 - 0,5p + 0,01p ≤ 0,059
0,5 - 0,49p ≤ 0,059
-0,49p ≤ 0,059 - 0,5
-0,49p ≤ -0,441
p ≥ -0,441 / -0,49
p ≥ 0,9
Portanto, a cobertura mínima necessária é 90%.
Entre as propostas dadas, a que apresenta essa cobertura mínima é a Proposta I (90%).
Assim, a proposta escolhida para atingir a meta com o menor número possível de vacinadas é a Proposta I.
Checagem dupla confirma que as outras propostas, com coberturas menores, não atingem a meta de 5,9% de prevalência máxima.
O problema apresenta uma doença com prevalência de 50% em uma população não vacinada e uma vacina com eficácia de 98%. A meta é que a probabilidade de uma menina desenvolver a doença seja no máximo 5,9%.
Para resolver, devemos calcular a cobertura mínima de vacinação necessária para que a prevalência da doença na população seja reduzida a 5,9%.
Se p é a proporção vacinada, então a prevalência após vacinação será dada por:
Prevalência = (1 - p) * 0,5 + p * 0,5 * (1 - 0,98)
O primeiro termo representa as pessoas não vacinadas que têm 50% de chance de contrair a doença.
O segundo termo representa as pessoas vacinadas que ainda têm 2% de chance de contrair a doença (100% - 98% de eficácia).
Queremos que essa prevalência seja no máximo 5,9% (0,059):
(1 - p) * 0,5 + p * 0,5 * 0,02 ≤ 0,059
Simplificando:
0,5 - 0,5p + 0,01p ≤ 0,059
0,5 - 0,49p ≤ 0,059
-0,49p ≤ 0,059 - 0,5
-0,49p ≤ -0,441
p ≥ -0,441 / -0,49
p ≥ 0,9
Portanto, a cobertura mínima necessária é 90%.
Entre as propostas dadas, a que apresenta essa cobertura mínima é a Proposta I (90%).
Assim, a proposta escolhida para atingir a meta com o menor número possível de vacinadas é a Proposta I.
Checagem dupla confirma que as outras propostas, com coberturas menores, não atingem a meta de 5,9% de prevalência máxima.