Três números inteiros estão em P.G. A soma destes números vale 13 e a soma dos seus ...

Vamos resolver passo a passo.

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Passo 1: Identificar os termos da P.G.

Três números inteiros em progressão geométrica (P.G.) podem ser representados como:

\[
\frac{n}{r}, \quad n, \quad n \cdot r
\]

onde \(n\) é o termo do meio e \(r\) é a razão da P.G.

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Passo 2: Usar as informações dadas

- A soma dos três números é 13:

\[
\frac{n}{r} + n + n r = 13
\]

- A soma dos quadrados é 91:

\[
\left(\frac{n}{r}\right)^2 + n^2 + (n r)^2 = 91
\]

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Passo 3: Simplificar as expressões

Vamos multiplicar a soma por \(r\) para facilitar:

\[
\frac{n}{r} + n + n r = n \left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = 13
\]

Ou seja:

\[
n \left(r + 1 + \frac{1}{r}\right) = 13
\]

Multiplicando por \(r\):

\[
n \frac{r^2 + r + 1}{r} = 13 \implies n = \frac{13 r}{r^2 + r + 1}
\]

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Passo 4: Expressar a soma dos quadrados

\[
\left(\frac{n}{r}\right)^2 + n^2 + (n r)^2 = n^2 \left(\frac{1}{r^2} + 1 + r^2\right) = 91
\]

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Passo 5: Substituir \(n\) na soma dos quadrados

\[
n^2 \left(r^2 + 1 + \frac{1}{r^2}\right) = 91
\]

Substituindo \(n = \frac{13 r}{r^2 + r + 1}\):

\[
\left(\frac{13 r}{r^2 + r + 1}\right)^2 \left(r^2 + 1 + \frac{1}{r^2}\right) = 91
\]

Multiplicando:

\[
\frac{169 r^2}{(r^2 + r + 1)^2} \cdot \left(r^2 + 1 + \frac{1}{r^2}\right) = 91
\]

Note que:

\[
r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} = \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2}
\]

Então:

\[
\frac{169 r^2}{(r^2 + r + 1)^2} \cdot \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2} = 91
\]

Simplificando \(r^2\):

\[
\frac{169 (r^4 + r^2 + 1)}{(r^2 + r + 1)^2} = 91
\]

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Passo 6: Resolver para \(r\)

Multiplicando ambos os lados por \((r^2 + r + 1)^2\):

\[
169 (r^4 + r^2 + 1) = 91 (r^2 + r + 1)^2
\]

Dividindo ambos os lados por 13 para simplificar:

\[
13 (r^4 + r^2 + 1) = 7 (r^2 + r + 1)^2
\]

Expandindo \((r^2 + r + 1)^2\):

\[
(r^2 + r + 1)^2 = r^4 + 2 r^3 + 3 r^2 + 2 r + 1
\]

Então:

\[
13 (r^4 + r^2 + 1) = 7 (r^4 + 2 r^3 + 3 r^2 + 2 r + 1)
\]

Expandindo:

\[
13 r^4 + 13 r^2 + 13 = 7 r^4 + 14 r^3 + 21 r^2 + 14 r + 7
\]

Levando tudo para um lado:

\[
13 r^4 + 13 r^2 + 13 - 7 r^4 - 14 r^3 - 21 r^2 - 14 r - 7 = 0
\]

Simplificando:

\[
(13 r^4 - 7 r^4) + (13 r^2 - 21 r^2) - 14 r^3 - 14 r + (13 - 7) = 0
\]

\[
6 r^4 - 14 r^3 - 8 r^2 - 14 r + 6 = 0
\]

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Passo 7: Tentar valores inteiros para \(r\)

Como os números são inteiros, e \(r\) é a razão da P.G., vamos tentar valores inteiros para \(r\).

Testando \(r=1\):

\[
6 - 14 - 8 - 14 + 6 = (6 - 14) = -8 - 8 = -16 - 14 = -30 + 6 = -24 \neq 0
\]

Testando \(r=2\):

\[
6 \cdot 16 - 14 \cdot 8 - 8 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 6 = 96 - 112 - 32 - 28 + 6 = (96 - 112) = -16 - 32 = -48 - 28 = -76 + 6 = -70 \neq 0
\]

Testando \(r=3\):

\[
6 \cdot 81 - 14 \cdot 27 - 8 \cdot 9 - 14 \cdot 3 + 6 = 486 - 378 - 72 - 42 + 6 = (486 - 378) = 108 - 72 = 36 - 42 = -6 + 6 = 0
\]

Perfeito! \(r=3\) é solução.

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Passo 8: Encontrar \(n\)

Lembre que:

\[
n = \frac{13 r}{r^2 + r + 1} = \frac{13 \cdot 3}{9 + 3 + 1} = \frac{39}{13} = 3
\]

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Passo 9: Termos da P.G.

Os termos são:

\[
\frac{n}{r} = \frac{3}{3} = 1, \quad n = 3, \quad n r = 3 \cdot 3 = 9
\]

Confere a soma:

\[
1 + 3 + 9 = 13
\]

Soma dos quadrados:

\[
1^2 + 3^2 + 9^2 = 1 + 9 + 81 = 91
\]

Tudo certo!

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Passo 10: Quantas comissões de \(n\) elementos podem ser formadas com 28 professores?

\(n = 3\), então queremos o número de combinações de 28 professores tomadas 3 a 3:

\[
C(28, 3) = \frac{28!}{3! \cdot 25!} = \frac{28 \times 27 \times 26}{3 \times 2 \times 1} = \frac{19656}{6} = 3276
\]

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Resposta correta:

c) 3276

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Resumo:

- Encontramos \(r=3\) e \(n=3\).
- Os termos da P.G. são 1, 3, 9.
- O número de comissões de 3 elementos que podem ser formadas com 28 professores é \(C(28, 3) = 3276\).

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Gabarito: c)