Duas matrizes, P e Q, são quadradas de ordem 3 e tais que det P = k...

Para resolver essa questão, vamos primeiro entender as propriedades de determinantes de matrizes.

1. O determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Ou seja, det(AB) = det(A) * det(B).

2. O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, det(A^T) = det(A).

Dado que det(P) = k e det(Q) = k², queremos encontrar o determinante de (2P).(Q²).

Vamos calcular cada parte separadamente:

1. O determinante de 2P é 2³ * det(P) = 8k.

2. O determinante de Q² é det(Q)² = (k²)² = k⁴.

Agora, vamos calcular o determinante de (2P).(Q²):

det((2P).(Q²)) = det(2P) * det(Q²) = 8k * k⁴ = 8k⁵.

Portanto, o determinante de (2P).(Q²) é 8k⁵.

Gabarito: b) 8K^5.