Em um grupo de 1.800 entrevistados sobre três canais de televisão aberta, verificou-...
Responda: Em um grupo de 1.800 entrevistados sobre três canais de televisão aberta, verificou-se que 3/5 dos entrevistados assistem ao canal A e 2/3 assistem ao canal B. Se metade dos entrevistados assist...
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Por Rodrigo Ferreira em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: b)
Vamos analisar o problema passo a passo. O total de entrevistados é 1.800.
Primeiro, sabemos que 3/5 dos entrevistados assistem ao canal A. Calculando: (3/5) * 1800 = 1080 pessoas.
Também, 2/3 assistem ao canal B: (2/3) * 1800 = 1200 pessoas.
Metade dos entrevistados assistem a pelo menos 2 canais, ou seja, 900 pessoas assistem a pelo menos dois canais.
Sabemos que todos que assistem ao canal C também assistem ao canal A, mas não assistem ao canal B. Isso significa que o conjunto de C está contido em A e é disjunto de B.
Vamos definir os conjuntos:
A = 1080 pessoas
B = 1200 pessoas
C ⊆ A e C ∩ B = vazio
Queremos encontrar o número de pessoas que assistem apenas ao canal A, ou seja, A somente.
Sabemos que o número de pessoas que assistem a pelo menos dois canais é 900. Os pares possíveis são A∩B, A∩C, e B∩C. Mas C∩B é vazio, então só temos A∩B e A∩C.
Assim, o total de pessoas que assistem a pelo menos dois canais é |A∩B| + |A∩C| = 900.
Como C está contido em A e não em B, então A∩C = C.
Agora, vamos usar a fórmula da união para A e B:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 1080 + 1200 - |A ∩ B| = 2280 - |A ∩ B|.
Sabemos que o total de entrevistados é 1800, então há pessoas que assistem a nenhum canal ou apenas ao canal C? Não, pois C está contido em A.
Logo, |A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| = 1800 (pois C está dentro de A).
Então:
1800 = 2280 - |A ∩ B|
|A ∩ B| = 2280 - 1800 = 480.
Sabemos que |A ∩ B| + |A ∩ C| = 900, então:
480 + |A ∩ C| = 900
|A ∩ C| = 420.
Como C está contido em A e não em B, |C| = 420.
Agora, para encontrar o número de pessoas que assistem apenas ao canal A, usamos:
|A| = |A somente| + |A ∩ B| + |A ∩ C|
1080 = |A somente| + 480 + 420
|A somente| = 1080 - 900 = 180.
Portanto, 180 pessoas assistem apenas ao canal A.
Checagem dupla:
- Total que assistem a pelo menos dois canais: 480 + 420 = 900 (confere)
- Total de A: 180 + 480 + 420 = 1080 (confere)
- Total de B: 1200 = 480 (A∩B) + (B somente)
- B somente = 1200 - 480 = 720
- C = 420, todos em A e não em B
- Soma total: A somente (180) + B somente (720) + A∩B (480) + A∩C (420) = 180 + 720 + 480 + 420 = 1800 (confere)
Tudo está consistente com o gabarito b).
Vamos analisar o problema passo a passo. O total de entrevistados é 1.800.
Primeiro, sabemos que 3/5 dos entrevistados assistem ao canal A. Calculando: (3/5) * 1800 = 1080 pessoas.
Também, 2/3 assistem ao canal B: (2/3) * 1800 = 1200 pessoas.
Metade dos entrevistados assistem a pelo menos 2 canais, ou seja, 900 pessoas assistem a pelo menos dois canais.
Sabemos que todos que assistem ao canal C também assistem ao canal A, mas não assistem ao canal B. Isso significa que o conjunto de C está contido em A e é disjunto de B.
Vamos definir os conjuntos:
A = 1080 pessoas
B = 1200 pessoas
C ⊆ A e C ∩ B = vazio
Queremos encontrar o número de pessoas que assistem apenas ao canal A, ou seja, A somente.
Sabemos que o número de pessoas que assistem a pelo menos dois canais é 900. Os pares possíveis são A∩B, A∩C, e B∩C. Mas C∩B é vazio, então só temos A∩B e A∩C.
Assim, o total de pessoas que assistem a pelo menos dois canais é |A∩B| + |A∩C| = 900.
Como C está contido em A e não em B, então A∩C = C.
Agora, vamos usar a fórmula da união para A e B:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 1080 + 1200 - |A ∩ B| = 2280 - |A ∩ B|.
Sabemos que o total de entrevistados é 1800, então há pessoas que assistem a nenhum canal ou apenas ao canal C? Não, pois C está contido em A.
Logo, |A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| = 1800 (pois C está dentro de A).
Então:
1800 = 2280 - |A ∩ B|
|A ∩ B| = 2280 - 1800 = 480.
Sabemos que |A ∩ B| + |A ∩ C| = 900, então:
480 + |A ∩ C| = 900
|A ∩ C| = 420.
Como C está contido em A e não em B, |C| = 420.
Agora, para encontrar o número de pessoas que assistem apenas ao canal A, usamos:
|A| = |A somente| + |A ∩ B| + |A ∩ C|
1080 = |A somente| + 480 + 420
|A somente| = 1080 - 900 = 180.
Portanto, 180 pessoas assistem apenas ao canal A.
Checagem dupla:
- Total que assistem a pelo menos dois canais: 480 + 420 = 900 (confere)
- Total de A: 180 + 480 + 420 = 1080 (confere)
- Total de B: 1200 = 480 (A∩B) + (B somente)
- B somente = 1200 - 480 = 720
- C = 420, todos em A e não em B
- Soma total: A somente (180) + B somente (720) + A∩B (480) + A∩C (420) = 180 + 720 + 480 + 420 = 1800 (confere)
Tudo está consistente com o gabarito b).
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