David Castilho
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: d)
Vamos analisar a questão com calma. Temos 50 bolas no total, divididas assim: 15 vermelhas, 15 azuis, 15 verdes, e 5 restantes que são pretas e brancas (não sabemos exatamente quantas de cada, só que somam 5).
Queremos saber o número mínimo de bolas que precisamos tirar, sem olhar a cor, para garantir que entre elas haja pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Para resolver isso, usamos o princípio da casa dos pombos (princípio do pigeonhole). A ideia é pensar no pior cenário possível para não ter 5 bolas da mesma cor, e ver quantas bolas precisaríamos tirar para que isso seja impossível.
Vamos supor que queremos evitar ter 5 bolas da mesma cor. Então, o máximo que podemos tirar de cada cor sem chegar a 5 é 4 bolas.
Quantas cores temos? Vermelha, azul, verde, preta e branca — total de 5 cores.
Se pegarmos 4 bolas de cada cor, teremos 4 x 5 = 20 bolas, e ainda não teremos 5 bolas da mesma cor.
Mas atenção: as bolas pretas e brancas somam 5 no total, então não podemos pegar 4 bolas de cada dessas cores se elas não existirem em quantidade suficiente.
Porém, para garantir o pior cenário, vamos supor que há pelo menos 4 bolas de cada cor (o que é verdade para vermelha, azul e verde, e para preta e branca, já que juntas somam 5, então pelo menos uma delas tem 4 bolas).
Então, no pior caso, podemos tirar 4 bolas de cada cor, totalizando 20 bolas, e ainda não ter 5 bolas da mesma cor.
Agora, se tirarmos mais uma bola, ou seja, 21 bolas, obrigatoriamente teremos 5 bolas da mesma cor.
Mas a questão quer o número mínimo para termos certeza que entre elas existem pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Então, o número mínimo é 21.
Mas essa opção não está entre as alternativas.
Vamos revisar: as opções são 5, 6, 17, 18 e 19.
Será que consideramos errado?
Repare que as bolas pretas e brancas somam 5, mas não sabemos a distribuição. Para garantir o pior cenário, devemos considerar que a cor com menor quantidade pode limitar o número de bolas que podemos tirar sem atingir 5 bolas da mesma cor.
Como as pretas e brancas somam 5, a maior quantidade que uma dessas cores pode ter é 4 (por exemplo, 4 pretas e 1 branca).
Então, o máximo de bolas que podemos tirar sem ter 5 da mesma cor é:
- Vermelha: até 4 bolas
- Azul: até 4 bolas
- Verde: até 4 bolas
- Preta: até 4 bolas (no pior caso)
- Branca: até 1 bola (se preta tem 4)
Somando: 4 + 4 + 4 + 4 + 1 = 17 bolas.
Ou, se a distribuição for 3 pretas e 2 brancas, o máximo de bolas de uma cor preta ou branca é 3, então o máximo que podemos tirar sem ter 5 bolas da mesma cor é:
4 + 4 + 4 + 3 + 2 = 17 bolas.
Ou seja, no pior caso, podemos tirar 17 bolas sem ter 5 da mesma cor.
Então, ao tirar a 18ª bola, teremos certeza que há pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Portanto, a resposta correta é 18.
Logo, a alternativa correta é d).
Vamos analisar a questão com calma. Temos 50 bolas no total, divididas assim: 15 vermelhas, 15 azuis, 15 verdes, e 5 restantes que são pretas e brancas (não sabemos exatamente quantas de cada, só que somam 5).
Queremos saber o número mínimo de bolas que precisamos tirar, sem olhar a cor, para garantir que entre elas haja pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Para resolver isso, usamos o princípio da casa dos pombos (princípio do pigeonhole). A ideia é pensar no pior cenário possível para não ter 5 bolas da mesma cor, e ver quantas bolas precisaríamos tirar para que isso seja impossível.
Vamos supor que queremos evitar ter 5 bolas da mesma cor. Então, o máximo que podemos tirar de cada cor sem chegar a 5 é 4 bolas.
Quantas cores temos? Vermelha, azul, verde, preta e branca — total de 5 cores.
Se pegarmos 4 bolas de cada cor, teremos 4 x 5 = 20 bolas, e ainda não teremos 5 bolas da mesma cor.
Mas atenção: as bolas pretas e brancas somam 5 no total, então não podemos pegar 4 bolas de cada dessas cores se elas não existirem em quantidade suficiente.
Porém, para garantir o pior cenário, vamos supor que há pelo menos 4 bolas de cada cor (o que é verdade para vermelha, azul e verde, e para preta e branca, já que juntas somam 5, então pelo menos uma delas tem 4 bolas).
Então, no pior caso, podemos tirar 4 bolas de cada cor, totalizando 20 bolas, e ainda não ter 5 bolas da mesma cor.
Agora, se tirarmos mais uma bola, ou seja, 21 bolas, obrigatoriamente teremos 5 bolas da mesma cor.
Mas a questão quer o número mínimo para termos certeza que entre elas existem pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Então, o número mínimo é 21.
Mas essa opção não está entre as alternativas.
Vamos revisar: as opções são 5, 6, 17, 18 e 19.
Será que consideramos errado?
Repare que as bolas pretas e brancas somam 5, mas não sabemos a distribuição. Para garantir o pior cenário, devemos considerar que a cor com menor quantidade pode limitar o número de bolas que podemos tirar sem atingir 5 bolas da mesma cor.
Como as pretas e brancas somam 5, a maior quantidade que uma dessas cores pode ter é 4 (por exemplo, 4 pretas e 1 branca).
Então, o máximo de bolas que podemos tirar sem ter 5 da mesma cor é:
- Vermelha: até 4 bolas
- Azul: até 4 bolas
- Verde: até 4 bolas
- Preta: até 4 bolas (no pior caso)
- Branca: até 1 bola (se preta tem 4)
Somando: 4 + 4 + 4 + 4 + 1 = 17 bolas.
Ou, se a distribuição for 3 pretas e 2 brancas, o máximo de bolas de uma cor preta ou branca é 3, então o máximo que podemos tirar sem ter 5 bolas da mesma cor é:
4 + 4 + 4 + 3 + 2 = 17 bolas.
Ou seja, no pior caso, podemos tirar 17 bolas sem ter 5 da mesma cor.
Então, ao tirar a 18ª bola, teremos certeza que há pelo menos 5 bolas da mesma cor.
Portanto, a resposta correta é 18.
Logo, a alternativa correta é d).