Dadas as matrizes A e B quadradas, de ordem n e invertíveis, qual é a solução da equ...
Responda: Dadas as matrizes A e B quadradas, de ordem n e invertíveis, qual é a solução da equação matricial AX–1B–1 =In, , em que In,é a matriz identidade de o...
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Por Rodrigo Ferreira em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
Para resolver a equação matricial AX^{-1}B^{-1} = I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n, precisamos isolar X.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz B à direita, obtendo AX^{-1}B^{-1}B = I_nB. Como B^{-1}B = I_n, isso simplifica para AX^{-1}I_n = I_n, ou seja, AX^{-1} = I_n.
Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz A^{-1} à esquerda, resultando em A^{-1}AX^{-1} = A^{-1}I_n. Como A^{-1}A = I_n, isso simplifica para I_nX^{-1} = A^{-1}, ou seja, X^{-1} = A^{-1}.
Para encontrar X, tomamos a inversa de ambos os lados, resultando em X = (A^{-1})^{-1} = A. Agora, substituímos X = A em AX^{-1}B^{-1} = I_n, temos AA^{-1}B^{-1} = I_n, que simplifica para B^{-1} = I_n. Portanto, X = B^{-1}A.
Assim, a solução correta é X = B^{-1}A, que corresponde à alternativa c).
Para resolver a equação matricial AX^{-1}B^{-1} = I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n, precisamos isolar X.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz B à direita, obtendo AX^{-1}B^{-1}B = I_nB. Como B^{-1}B = I_n, isso simplifica para AX^{-1}I_n = I_n, ou seja, AX^{-1} = I_n.
Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz A^{-1} à esquerda, resultando em A^{-1}AX^{-1} = A^{-1}I_n. Como A^{-1}A = I_n, isso simplifica para I_nX^{-1} = A^{-1}, ou seja, X^{-1} = A^{-1}.
Para encontrar X, tomamos a inversa de ambos os lados, resultando em X = (A^{-1})^{-1} = A. Agora, substituímos X = A em AX^{-1}B^{-1} = I_n, temos AA^{-1}B^{-1} = I_n, que simplifica para B^{-1} = I_n. Portanto, X = B^{-1}A.
Assim, a solução correta é X = B^{-1}A, que corresponde à alternativa c).
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