Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais a 3 e 4...

Gabarito: c)

Temos dois números inteiros x e y que, quando divididos por 5, deixam restos 3 e 4, respectivamente. Isso significa que x = 5a + 3 e y = 5b + 4, onde a e b são inteiros quaisquer.

Queremos encontrar o resto da divisão do produto x . y por 5. Calculando o produto, temos:

x . y = (5a + 3)(5b + 4) = 25ab + 20a + 15b + 12.

Agora, ao dividir por 5, os termos 25ab, 20a e 15b são múltiplos de 5 e, portanto, deixam resto zero.

Assim, o resto da divisão de x . y por 5 será o mesmo que o resto da divisão de 12 por 5.

Dividindo 12 por 5, temos 12 = 5 * 2 + 2, logo o resto é 2.

Portanto, o resto da divisão de x . y por 5 é 2.

Checagem dupla:

Outra forma de verificar é considerar os restos diretamente: (3 * 4) mod 5 = 12 mod 5 = 2.

Isso confirma que o gabarito correto é a alternativa c).

Gabarito: c)

Temos dois números inteiros x e y que, quando divididos por 5, deixam restos 3 e 4, respectivamente. Isso significa que x é congruente a 3 módulo 5, e y é congruente a 4 módulo 5.

Matematicamente, podemos escrever: x ≡ 3 (mod 5) e y ≡ 4 (mod 5).

Queremos encontrar o resto da divisão do produto x . y por 5, ou seja, o valor de (x . y) mod 5.

Pela propriedade da congruência, o produto dos restos também é congruente ao produto dos números: (x . y) mod 5 = (3 . 4) mod 5 = 12 mod 5.

Dividindo 12 por 5, o quociente é 2 e o resto é 2, pois 12 = 5 * 2 + 2.

Portanto, o resto da divisão de x . y por 5 é 2.

Fazendo uma checagem dupla, confirmamos que a multiplicação dos restos 3 e 4 resulta em 12, cujo resto na divisão por 5 é 2, o que confirma a resposta correta.