Um museu tem 3 seguranças para cuidar de 10 instalações. Um dos seguranças deve ficar e...
Responda: Um museu tem 3 seguranças para cuidar de 10 instalações. Um dos seguranças deve ficar em cada instalação por 2 minutos; outro, por 6 minutos; e o terceiro, por 10 minutos. A ronda começa na primeir...
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Por Equipe Gabarite em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: e)
Temos três seguranças que passam por 10 instalações em sequência, cada um permanecendo um tempo fixo em cada instalação: 2 minutos, 6 minutos e 10 minutos, respectivamente.
O tempo total que cada segurança leva para completar uma ronda (passar por todas as 10 instalações) é o tempo por instalação multiplicado por 10.
Para o segurança que fica 2 minutos por instalação, o ciclo completo é 2 x 10 = 20 minutos.
Para o que fica 6 minutos, o ciclo é 6 x 10 = 60 minutos.
Para o que fica 10 minutos, o ciclo é 10 x 10 = 100 minutos.
Os três começam juntos na primeira instalação às 9h. Queremos saber quando eles estarão juntos novamente na mesma instalação, ao mesmo tempo.
Isso ocorre quando os tempos decorrido desde o início forem múltiplos comuns dos ciclos, ou seja, quando o tempo for múltiplo comum de 20, 60 e 100 minutos.
Calculamos o mínimo múltiplo comum (MMC) de 20, 60 e 100.
Fatorando:
20 = 2^2 x 5
60 = 2^2 x 3 x 5
100 = 2^2 x 5^2
O MMC será o produto dos maiores expoentes de cada fator:
MMC = 2^2 x 3 x 5^2 = 4 x 3 x 25 = 300 minutos.
300 minutos equivalem a 5 horas.
Portanto, os três seguranças estarão juntos novamente na mesma instalação após 5 horas, ou seja, às 14h.
Porém, a questão pede o próximo horário em que os três entrarão em uma mesma instalação ao mesmo tempo, não necessariamente a primeira instalação.
Como eles se movem de instalação em instalação, cada segurança passa para a próxima instalação a cada tempo que ele permanece na instalação.
Assim, o tempo para o segurança que fica 2 minutos por instalação para passar de uma instalação para outra é 2 minutos, para o que fica 6 minutos é 6 minutos, e para o que fica 10 minutos é 10 minutos.
Queremos encontrar o menor tempo t > 0 tal que:
- t dividido por 2 deixa resto 0 (eles estão na mesma instalação para o segurança de 2 minutos)
- t dividido por 6 deixa resto 0
- t dividido por 10 deixa resto 0
Ou seja, t deve ser múltiplo comum de 2, 6 e 10.
Calculando o MMC de 2, 6 e 10:
2 = 2
6 = 2 x 3
10 = 2 x 5
MMC = 2 x 3 x 5 = 30 minutos.
Portanto, a cada 30 minutos eles estarão juntos na mesma instalação.
Como começaram às 9h, os próximos horários serão 9h30min, 10h, 10h30min, 11h, 11h30min, etc.
Mas precisamos verificar se eles estarão na mesma instalação, não apenas juntos no tempo.
Como o número de instalações é 10, e eles avançam uma instalação a cada tempo que permanecem nela, o número da instalação em que cada segurança estará no tempo t é:
Para o segurança de 2 minutos: (t / 2) mod 10
Para o de 6 minutos: (t / 6) mod 10
Para o de 10 minutos: (t / 10) mod 10
Queremos t > 0 tal que esses valores sejam iguais.
Testando os múltiplos de 30 minutos:
Para t=30:
(30/2) mod 10 = 15 mod 10 = 5
(30/6) mod 10 = 5 mod 10 = 5
(30/10) mod 10 = 3 mod 10 = 3
Não são iguais.
Para t=60:
(60/2) mod 10 = 30 mod 10 = 0
(60/6) mod 10 = 10 mod 10 = 0
(60/10) mod 10 = 6 mod 10 = 6
Não são iguais.
Para t=90:
(90/2) mod 10 = 45 mod 10 = 5
(90/6) mod 10 = 15 mod 10 = 5
(90/10) mod 10 = 9 mod 10 = 9
Não são iguais.
Para t=120:
(120/2) mod 10 = 60 mod 10 = 0
(120/6) mod 10 = 20 mod 10 = 0
(120/10) mod 10 = 12 mod 10 = 2
Não são iguais.
Para t=150:
(150/2) mod 10 = 75 mod 10 = 5
(150/6) mod 10 = 25 mod 10 = 5
(150/10) mod 10 = 15 mod 10 = 5
São iguais!
Portanto, após 150 minutos (2 horas e 30 minutos), os três estarão juntos na mesma instalação.
Como começaram às 9h, o próximo horário será às 11h30min.
Assim, a alternativa correta é a letra e).
Temos três seguranças que passam por 10 instalações em sequência, cada um permanecendo um tempo fixo em cada instalação: 2 minutos, 6 minutos e 10 minutos, respectivamente.
O tempo total que cada segurança leva para completar uma ronda (passar por todas as 10 instalações) é o tempo por instalação multiplicado por 10.
Para o segurança que fica 2 minutos por instalação, o ciclo completo é 2 x 10 = 20 minutos.
Para o que fica 6 minutos, o ciclo é 6 x 10 = 60 minutos.
Para o que fica 10 minutos, o ciclo é 10 x 10 = 100 minutos.
Os três começam juntos na primeira instalação às 9h. Queremos saber quando eles estarão juntos novamente na mesma instalação, ao mesmo tempo.
Isso ocorre quando os tempos decorrido desde o início forem múltiplos comuns dos ciclos, ou seja, quando o tempo for múltiplo comum de 20, 60 e 100 minutos.
Calculamos o mínimo múltiplo comum (MMC) de 20, 60 e 100.
Fatorando:
20 = 2^2 x 5
60 = 2^2 x 3 x 5
100 = 2^2 x 5^2
O MMC será o produto dos maiores expoentes de cada fator:
MMC = 2^2 x 3 x 5^2 = 4 x 3 x 25 = 300 minutos.
300 minutos equivalem a 5 horas.
Portanto, os três seguranças estarão juntos novamente na mesma instalação após 5 horas, ou seja, às 14h.
Porém, a questão pede o próximo horário em que os três entrarão em uma mesma instalação ao mesmo tempo, não necessariamente a primeira instalação.
Como eles se movem de instalação em instalação, cada segurança passa para a próxima instalação a cada tempo que ele permanece na instalação.
Assim, o tempo para o segurança que fica 2 minutos por instalação para passar de uma instalação para outra é 2 minutos, para o que fica 6 minutos é 6 minutos, e para o que fica 10 minutos é 10 minutos.
Queremos encontrar o menor tempo t > 0 tal que:
- t dividido por 2 deixa resto 0 (eles estão na mesma instalação para o segurança de 2 minutos)
- t dividido por 6 deixa resto 0
- t dividido por 10 deixa resto 0
Ou seja, t deve ser múltiplo comum de 2, 6 e 10.
Calculando o MMC de 2, 6 e 10:
2 = 2
6 = 2 x 3
10 = 2 x 5
MMC = 2 x 3 x 5 = 30 minutos.
Portanto, a cada 30 minutos eles estarão juntos na mesma instalação.
Como começaram às 9h, os próximos horários serão 9h30min, 10h, 10h30min, 11h, 11h30min, etc.
Mas precisamos verificar se eles estarão na mesma instalação, não apenas juntos no tempo.
Como o número de instalações é 10, e eles avançam uma instalação a cada tempo que permanecem nela, o número da instalação em que cada segurança estará no tempo t é:
Para o segurança de 2 minutos: (t / 2) mod 10
Para o de 6 minutos: (t / 6) mod 10
Para o de 10 minutos: (t / 10) mod 10
Queremos t > 0 tal que esses valores sejam iguais.
Testando os múltiplos de 30 minutos:
Para t=30:
(30/2) mod 10 = 15 mod 10 = 5
(30/6) mod 10 = 5 mod 10 = 5
(30/10) mod 10 = 3 mod 10 = 3
Não são iguais.
Para t=60:
(60/2) mod 10 = 30 mod 10 = 0
(60/6) mod 10 = 10 mod 10 = 0
(60/10) mod 10 = 6 mod 10 = 6
Não são iguais.
Para t=90:
(90/2) mod 10 = 45 mod 10 = 5
(90/6) mod 10 = 15 mod 10 = 5
(90/10) mod 10 = 9 mod 10 = 9
Não são iguais.
Para t=120:
(120/2) mod 10 = 60 mod 10 = 0
(120/6) mod 10 = 20 mod 10 = 0
(120/10) mod 10 = 12 mod 10 = 2
Não são iguais.
Para t=150:
(150/2) mod 10 = 75 mod 10 = 5
(150/6) mod 10 = 25 mod 10 = 5
(150/10) mod 10 = 15 mod 10 = 5
São iguais!
Portanto, após 150 minutos (2 horas e 30 minutos), os três estarão juntos na mesma instalação.
Como começaram às 9h, o próximo horário será às 11h30min.
Assim, a alternativa correta é a letra e).
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