A média harmônica de dois números é o inverso da média aritmética dos inversos desses n...

Gabarito: b)

A questão envolve a média harmônica das raízes de uma equação quadrática. Sabemos que a média harmônica de dois números x e y é o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja, H = 2 / (1/x + 1/y).

Dada a equação 8x² + px + p + 17 = 0, as raízes são x e y. Pela fórmula de soma e produto das raízes, temos:
Soma das raízes (x + y) = -p / 8
Produto das raízes (xy) = (p + 17) / 8

A média harmônica das raízes é dada por H = 2xy / (x + y).

Substituindo os valores, temos:
H = 2 * (p + 17)/8 / (-p / 8) = (2 * (p + 17) / 8) * (8 / -p) = (2 * (p + 17)) / (-p) = -2(p + 17)/p

Sabemos que H = 3/7, então:
-2(p + 17)/p = 3/7
Multiplicando ambos os lados por p e por 7:
-14(p + 17) = 3p
-14p - 238 = 3p
-14p - 3p = 238
-17p = 238
p = -238 / 17
p = -14

Portanto, o valor de p é -14, que corresponde à alternativa b).

Checagem dupla confirma que o cálculo está correto e que a alternativa b) é a resposta correta.