Pedro inicia a realização de uma prova com seis questões de múltipla escolha, cada qual...
Responda: Pedro inicia a realização de uma prova com seis questões de múltipla escolha, cada qual com quatro alternativas sendo apenas uma delas correta. Se Pedro marcar as respostas aleatoriamente, a probab...
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Por Camila Duarte em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
A questão trata de uma prova com 6 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas, apenas uma correta. Pedro responde aleatoriamente, e queremos a probabilidade de ele acertar exatamente 50% da prova, ou seja, 3 questões corretas.
Cada questão tem probabilidade de acerto 1/4 e erro 3/4. O número de acertos segue uma distribuição binomial com n=6 e p=1/4.
A fórmula da probabilidade binomial é: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), onde C(n,k) é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
Calculando para k=3: C(6,3) = 20, p^3 = (1/4)^3 = 1/64, (1-p)^(3) = (3/4)^3 = 27/64.
Logo, P = 20 * (1/64) * (27/64) = 20 * 27 / 4096 = 540 / 4096 = 27 / 204.8, mas simplificando corretamente: 540/4096 = 27/204.8 não é uma fração exata, então vamos simplificar 540/4096.
Dividindo numerador e denominador por 20: 27/204.8, mas denominador não é inteiro. Melhor deixar como 540/4096.
Na verdade, 20 * 27 = 540, então a fração é 540/4096. Dividindo numerador e denominador por 20: 27/204.8, que não é uma fração exata. Portanto, a resposta correta é 540/4096, que simplificado por 20 não é inteiro.
Mas a alternativa c) é 27/4096, que é menor. Então, vamos revisar o cálculo.
Revisão: C(6,3) = 20, p^3 = (1/4)^3 = 1/64, (1-p)^3 = (3/4)^3 = 27/64.
Multiplicando: 20 * (1/64) * (27/64) = 20 * 27 / (64*64) = 540 / 4096.
Portanto, a probabilidade correta é 540/4096, que pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 4: 135/1024.
Nenhuma alternativa corresponde exatamente a 135/1024, mas a alternativa c) é 27/4096, que é 1/4 da resposta correta.
Porém, o gabarito oficial é c), e a resposta mais marcada também é c). Isso indica que a questão considera que a probabilidade de acerto é 1/2, ou que a questão está considerando outra abordagem.
Se considerarmos que a probabilidade de acerto é 1/2 (o que não é o caso), a probabilidade de 3 acertos em 6 é C(6,3)*(1/2)^6 = 20 * 1/64 = 20/64 = 5/16, que não está entre as alternativas.
Portanto, a resposta correta, segundo a distribuição binomial com p=1/4, é 135/1024, que não está entre as alternativas.
Por isso, o gabarito oficial c) 27/4096 está incorreto matematicamente, mas é o que consta na prova.
Em resumo, a resolução correta é calcular a binomial com p=1/4, n=6, k=3, resultando em 135/1024. A alternativa c) é a mais próxima e é o gabarito oficial.
A questão trata de uma prova com 6 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas, apenas uma correta. Pedro responde aleatoriamente, e queremos a probabilidade de ele acertar exatamente 50% da prova, ou seja, 3 questões corretas.
Cada questão tem probabilidade de acerto 1/4 e erro 3/4. O número de acertos segue uma distribuição binomial com n=6 e p=1/4.
A fórmula da probabilidade binomial é: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), onde C(n,k) é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
Calculando para k=3: C(6,3) = 20, p^3 = (1/4)^3 = 1/64, (1-p)^(3) = (3/4)^3 = 27/64.
Logo, P = 20 * (1/64) * (27/64) = 20 * 27 / 4096 = 540 / 4096 = 27 / 204.8, mas simplificando corretamente: 540/4096 = 27/204.8 não é uma fração exata, então vamos simplificar 540/4096.
Dividindo numerador e denominador por 20: 27/204.8, mas denominador não é inteiro. Melhor deixar como 540/4096.
Na verdade, 20 * 27 = 540, então a fração é 540/4096. Dividindo numerador e denominador por 20: 27/204.8, que não é uma fração exata. Portanto, a resposta correta é 540/4096, que simplificado por 20 não é inteiro.
Mas a alternativa c) é 27/4096, que é menor. Então, vamos revisar o cálculo.
Revisão: C(6,3) = 20, p^3 = (1/4)^3 = 1/64, (1-p)^3 = (3/4)^3 = 27/64.
Multiplicando: 20 * (1/64) * (27/64) = 20 * 27 / (64*64) = 540 / 4096.
Portanto, a probabilidade correta é 540/4096, que pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 4: 135/1024.
Nenhuma alternativa corresponde exatamente a 135/1024, mas a alternativa c) é 27/4096, que é 1/4 da resposta correta.
Porém, o gabarito oficial é c), e a resposta mais marcada também é c). Isso indica que a questão considera que a probabilidade de acerto é 1/2, ou que a questão está considerando outra abordagem.
Se considerarmos que a probabilidade de acerto é 1/2 (o que não é o caso), a probabilidade de 3 acertos em 6 é C(6,3)*(1/2)^6 = 20 * 1/64 = 20/64 = 5/16, que não está entre as alternativas.
Portanto, a resposta correta, segundo a distribuição binomial com p=1/4, é 135/1024, que não está entre as alternativas.
Por isso, o gabarito oficial c) 27/4096 está incorreto matematicamente, mas é o que consta na prova.
Em resumo, a resolução correta é calcular a binomial com p=1/4, n=6, k=3, resultando em 135/1024. A alternativa c) é a mais próxima e é o gabarito oficial.
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