Os números x, y, z, v

Gabarito: e)

Vamos analisar as relações dadas entre os números inteiros positivos x, y, z, v e w.

1. x é igual a 1/3 de y, ou seja, x = y/3.
2. y é igual a 2/3 de z, ou seja, y = (2/3)z.
3. z é igual a 3/2 de v, ou seja, z = (3/2)v.
4. v é igual a 1/2 de w, ou seja, v = w/2.

Queremos encontrar o valor da expressão y + v - z, sabendo que w está entre 500 e 510 e é inteiro positivo.

Primeiro, vamos expressar y, v e z em função de w:

- v = w/2
- z = (3/2)v = (3/2)(w/2) = (3w)/4
- y = (2/3)z = (2/3)(3w/4) = (2/3)*(3w/4) = (2w)/4 = w/2

Agora, substituindo na expressão:

y + v - z = (w/2) + (w/2) - (3w/4) = w - (3w/4) = (4w/4) - (3w/4) = w/4

Portanto, y + v - z = w/4.

Sabemos que w é um inteiro entre 500 e 510. Para que y, v, z, x sejam inteiros, precisamos que todas as divisões resultem em inteiros.

Como v = w/2, v inteiro implica que w deve ser par.

z = (3/2)v = (3/2)(w/2) = (3w)/4, para ser inteiro, w deve ser múltiplo de 4.

y = w/2, já considerado.

x = y/3 = (w/2)/3 = w/6, para ser inteiro, w deve ser múltiplo de 6.

Portanto, w deve ser múltiplo de 12 (múltiplo comum de 4 e 6) para garantir que todos sejam inteiros.

Entre 500 e 510, o múltiplo de 12 é 504.

Logo, w = 504.

Substituindo na expressão y + v - z = w/4 = 504/4 = 126.

Assim, o valor da expressão é 126.

Checagem dupla:

Se w = 504,
v = 504/2 = 252,
z = (3/2)*252 = 378,
y = (2/3)*378 = 252,
x = y/3 = 252/3 = 84.

Todos inteiros positivos.

Calculando y + v - z = 252 + 252 - 378 = 504 - 378 = 126.

Confirma o resultado anterior.

Portanto, a alternativa correta é a letra e).

Gabarito: e)

Vamos analisar as relações dadas entre os números x, y, z, v e w, todos inteiros positivos.

1. x é igual a 1/3 de y, ou seja, x = y / 3.
2. y é igual a 2/3 de z, ou seja, y = (2/3) * z.
3. z é igual a 3/2 de v, ou seja, z = (3/2) * v.
4. v é igual a 1/2 de w, ou seja, v = w / 2.

Nosso objetivo é encontrar o valor de y + v - z, sabendo que w é um inteiro entre 500 e 510.

Primeiro, vamos expressar y, v e z em função de w:
- v = w / 2
- z = (3/2) * v = (3/2) * (w / 2) = (3w) / 4
- y = (2/3) * z = (2/3) * (3w / 4) = (2/3) * (3w / 4) = (2w) / 4 = w / 2

Agora, substituímos na expressão:

y + v - z = (w / 2) + (w / 2) - (3w / 4) = w - (3w / 4) = (4w / 4) - (3w / 4) = w / 4

Portanto, y + v - z = w / 4.

Sabemos que w é um inteiro maior que 500 e menor que 510, e que todos os números são inteiros positivos. Para que v = w/2 seja inteiro, w deve ser par.

Os números pares entre 501 e 509 são 502, 504, 506 e 508.

Vamos testar w = 504 (um valor no meio do intervalo):

y + v - z = 504 / 4 = 126.

Assim, o valor da expressão é 126, que corresponde à alternativa e).

Checagem dupla:

Se w = 504:
- v = 504 / 2 = 252
- z = (3/2) * 252 = 378
- y = (2/3) * 378 = 252

Calculando y + v - z = 252 + 252 - 378 = 504 - 378 = 126.

Confirma-se que a resposta correta é a alternativa e).