Carlos criou uma poupança para seu filho, quando o mesmo completou três anos e, desde e...
Responda: Carlos criou uma poupança para seu filho, quando o mesmo completou três anos e, desde então, depositou mensalmente certa quantia. Inicialmente, depositou R$ 50,00 por mês. Quando seu filho completo...
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Por Marcos de Castro em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: b)
Vamos analisar o problema passo a passo para entender o total depositado.
Carlos começou a depositar quando o filho tinha 3 anos, com R$ 50,00 por mês. Quando o filho completou 4 anos, passou a depositar R$ 125,00 por mês; aos 5 anos, R$ 200,00 por mês; e assim sucessivamente, aumentando R$ 75,00 a cada ano até os 18 anos, quando parou.
Primeiro, precisamos calcular quantos meses ele depositou em cada faixa etária e o valor mensal correspondente.
De 3 a 4 anos: 1 ano = 12 meses, valor mensal R$ 50,00
De 4 a 5 anos: 12 meses, valor mensal R$ 125,00
De 5 a 6 anos: 12 meses, valor mensal R$ 200,00
E assim por diante, aumentando R$ 75,00 a cada ano até os 18 anos.
O número de anos entre 3 e 18 é 15 anos, então temos 15 faixas de 12 meses cada, com valores mensais começando em R$ 50,00 e aumentando R$ 75,00 a cada ano.
Os valores mensais formam uma progressão aritmética com primeiro termo a1 = 50 e razão r = 75, para n = 15 termos.
O total depositado será a soma dos depósitos mensais multiplicados por 12 meses para cada ano, ou seja, 12 vezes a soma dos termos da PA.
A soma dos termos da PA é S = n/2 * (2*a1 + (n-1)*r) = 15/2 * (2*50 + 14*75) = 7,5 * (100 + 1050) = 7,5 * 1150 = 8625.
Multiplicando por 12 meses: 8625 * 12 = 103.500 reais.
Portanto, o total depositado foi R$ 103.500,00.
Checagem dupla: calculando o valor do último termo a15 = a1 + (15-1)*r = 50 + 14*75 = 50 + 1050 = 1100 reais mensais no último ano.
A média dos depósitos mensais ao longo dos 15 anos é (50 + 1100)/2 = 575 reais.
Multiplicando pela quantidade total de meses (15*12 = 180 meses): 575 * 180 = 103.500 reais, confirmando o resultado.
Assim, a alternativa correta é a letra b).
Vamos analisar o problema passo a passo para entender o total depositado.
Carlos começou a depositar quando o filho tinha 3 anos, com R$ 50,00 por mês. Quando o filho completou 4 anos, passou a depositar R$ 125,00 por mês; aos 5 anos, R$ 200,00 por mês; e assim sucessivamente, aumentando R$ 75,00 a cada ano até os 18 anos, quando parou.
Primeiro, precisamos calcular quantos meses ele depositou em cada faixa etária e o valor mensal correspondente.
De 3 a 4 anos: 1 ano = 12 meses, valor mensal R$ 50,00
De 4 a 5 anos: 12 meses, valor mensal R$ 125,00
De 5 a 6 anos: 12 meses, valor mensal R$ 200,00
E assim por diante, aumentando R$ 75,00 a cada ano até os 18 anos.
O número de anos entre 3 e 18 é 15 anos, então temos 15 faixas de 12 meses cada, com valores mensais começando em R$ 50,00 e aumentando R$ 75,00 a cada ano.
Os valores mensais formam uma progressão aritmética com primeiro termo a1 = 50 e razão r = 75, para n = 15 termos.
O total depositado será a soma dos depósitos mensais multiplicados por 12 meses para cada ano, ou seja, 12 vezes a soma dos termos da PA.
A soma dos termos da PA é S = n/2 * (2*a1 + (n-1)*r) = 15/2 * (2*50 + 14*75) = 7,5 * (100 + 1050) = 7,5 * 1150 = 8625.
Multiplicando por 12 meses: 8625 * 12 = 103.500 reais.
Portanto, o total depositado foi R$ 103.500,00.
Checagem dupla: calculando o valor do último termo a15 = a1 + (15-1)*r = 50 + 14*75 = 50 + 1050 = 1100 reais mensais no último ano.
A média dos depósitos mensais ao longo dos 15 anos é (50 + 1100)/2 = 575 reais.
Multiplicando pela quantidade total de meses (15*12 = 180 meses): 575 * 180 = 103.500 reais, confirmando o resultado.
Assim, a alternativa correta é a letra b).
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