André, Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem apresentada, uma...

Gabarito: d)

Vamos analisar o problema passo a passo.

Temos quatro irmãos: André, Bruno, Carlos e Diego, nessa ordem. As idades deles formam uma proporção, ou seja, a sequência das idades é proporcional.

Sabemos que:
- André tem 3 anos.
- Diego tem 18 anos.
- Bruno é 3 anos mais novo que Carlos (Bruno = Carlos - 3).

Como as idades estão em proporção, podemos representar as idades como múltiplos de uma mesma razão k:

André = 3 = a
Bruno = b
Carlos = c
Diego = 18 = d

E a proporção é: a : b : c : d

Como a = 3 e d = 18, a proporção entre André e Diego é 3 : 18, que simplifica para 1 : 6.

Então, as idades podem ser representadas como:

André = k * 1 = 3 => k = 3

Diego = k * 6 = 18 (confirma)

Agora, Bruno e Carlos são os termos intermediários da proporção 1 : b : c : 6.

Como são proporcionais, a sequência é uma progressão geométrica (proporção entre termos consecutivos é constante).

Se chamarmos a razão da progressão geométrica de r, então:

André = k * 1 = 3

Bruno = k * r

Carlos = k * r^2

Diego = k * r^3 = 18

Sabemos k = 3, então:

Diego = 3 * r^3 = 18

r^3 = 18 / 3 = 6

r = raiz cúbica de 6 ≈ 1,817

Agora, Bruno = 3 * r ≈ 3 * 1,817 = 5,45

Carlos = 3 * r^2 ≈ 3 * (1,817)^2 ≈ 3 * 3,3 = 9,9

Mas Bruno é 3 anos mais novo que Carlos:

Carlos - Bruno = 3

9,9 - 5,45 = 4,45 ≠ 3

Então, essa hipótese não bate.

Outra forma: como as idades estão em proporção, podemos escrever:

André : Bruno = Bruno : Carlos = Carlos : Diego

Ou seja, a razão entre André e Bruno é igual à razão entre Bruno e Carlos, e igual à razão entre Carlos e Diego.

Se chamarmos essa razão de r, então:

Bruno = André * r = 3r

Carlos = Bruno * r = 3r^2

Diego = Carlos * r = 3r^3 = 18

Então:

3r^3 = 18

r^3 = 6

r = raiz cúbica de 6 ≈ 1,817 (mesmo valor)

Agora, Bruno = 3r ≈ 5,45

Carlos = 3r^2 ≈ 3 * 3,3 = 9,9

Diferença entre Carlos e Bruno:

9,9 - 5,45 = 4,45 ≠ 3

Não bate.

Mas o problema diz que Bruno é 3 anos mais novo que Carlos, ou seja:

Carlos - Bruno = 3

Substituindo:

3r^2 - 3r = 3

Dividindo tudo por 3:

r^2 - r = 1

r^2 - r - 1 = 0

Resolvendo a equação quadrática:

r = [1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = [1 ± sqrt(5)] / 2

sqrt(5) ≈ 2,236

Então:

r1 = (1 + 2,236)/2 ≈ 3,236/2 ≈ 1,618

r2 = (1 - 2,236)/2 ≈ -1,236/2 ≈ -0,618 (descartamos porque r > 0)

Agora, verificamos se com r = 1,618 a idade de Diego é 18:

Diego = 3r^3 = 3 * (1,618)^3 ≈ 3 * 4,236 = 12,708 (não bate com 18)

Então, não bate.

Mas o problema diz que as idades formam uma proporção na ordem apresentada, e que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos, e Bruno é 3 anos mais novo que Carlos.

Outra forma é considerar que as idades formam uma proporção direta, ou seja:

André : Bruno = Carlos : Diego

E Bruno = Carlos - 3

Sabemos André = 3, Diego = 18

Então:

3 / Bruno = Carlos / 18

Mas Bruno = Carlos - 3

Substituindo:

3 / (Carlos - 3) = Carlos / 18

Multiplicando cruzado:

3 * 18 = Carlos * (Carlos - 3)

54 = Carlos^2 - 3Carlos

Carlos^2 - 3Carlos - 54 = 0

Resolvendo a equação:

Delta = 9 + 216 = 225

Carlos = [3 ± 15] / 2

Carlos1 = (3 + 15)/2 = 18/2 = 9

Carlos2 = (3 - 15)/2 = -12/2 = -6 (descartamos idade negativa)

Carlos = 9

Então Bruno = Carlos - 3 = 9 - 3 = 6

Agora, somando as idades:

André + Bruno + Carlos + Diego = 3 + 6 + 9 + 18 = 36

Resposta: 36

Alternativa d).

Então, a soma das idades é 36 anos.