Camila Duarte
EQUIPE
18/10/2025 • 12:11
Para resolver essa questão, precisamos calcular o número de maneiras distintas de estacionar 48 veículos em 50 vagas disponíveis. Isso é um problema de permutação com repetição, onde temos mais vagas do que veículos.
O número total de maneiras de estacionar os veículos é dado pela fórmula de arranjo de 50 elementos tomados 48 a 48, que é calculado por:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
Onde \( n \) é o número total de vagas (50) e \( k \) é o número de veículos (48):
\[ P(50, 48) = \frac{50!}{(50-48)!} = \frac{50!}{2!} \]
Calculando \( 50! \) é um número extremamente grande, e \( 2! = 2 \). Então, simplificando:
\[ P(50, 48) = \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \]
Agora, vamos comparar isso com \( 1.000 \times 48! \):
\[ \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \text{ versus } 1.000 \times 48! \]
Dividindo ambos os lados por \( 48! \) para simplificar:
\[ \frac{50 \times 49}{2} \text{ versus } 1.000 \]
Calculando o lado esquerdo:
\[ \frac{50 \times 49}{2} = 1225 \]
Comparando 1225 com 1000, vemos que 1225 é maior que 1000. Portanto, \( \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \) é maior que \( 1.000 \times 48! \).
Logo, a afirmação de que existem mais de \( 1.000 \times 48! \) maneiras de estacionar os 48 veículos é verdadeira.
Gabarito: a) Certo
A matemática aqui mostra que, de fato, o número de maneiras de organizar os carros supera \( 1.000 \times 48! \), confirmando a afirmação do enunciado.
O número total de maneiras de estacionar os veículos é dado pela fórmula de arranjo de 50 elementos tomados 48 a 48, que é calculado por:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
Onde \( n \) é o número total de vagas (50) e \( k \) é o número de veículos (48):
\[ P(50, 48) = \frac{50!}{(50-48)!} = \frac{50!}{2!} \]
Calculando \( 50! \) é um número extremamente grande, e \( 2! = 2 \). Então, simplificando:
\[ P(50, 48) = \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \]
Agora, vamos comparar isso com \( 1.000 \times 48! \):
\[ \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \text{ versus } 1.000 \times 48! \]
Dividindo ambos os lados por \( 48! \) para simplificar:
\[ \frac{50 \times 49}{2} \text{ versus } 1.000 \]
Calculando o lado esquerdo:
\[ \frac{50 \times 49}{2} = 1225 \]
Comparando 1225 com 1000, vemos que 1225 é maior que 1000. Portanto, \( \frac{50 \times 49 \times 48!}{2} \) é maior que \( 1.000 \times 48! \).
Logo, a afirmação de que existem mais de \( 1.000 \times 48! \) maneiras de estacionar os 48 veículos é verdadeira.
Gabarito: a) Certo
A matemática aqui mostra que, de fato, o número de maneiras de organizar os carros supera \( 1.000 \times 48! \), confirmando a afirmação do enunciado.