Cláudio dividiu um círculo em 15 setores circulares. As medidas dos ângulos centrais de...

Gabarito: c)

O problema envolve dividir um círculo em 15 setores cujos ângulos centrais formam uma progressão aritmética (PA) de números inteiros positivos.

Sabemos que a soma dos ângulos centrais de todos os setores é 360 graus, pois é um círculo completo.

Sejam a1 o primeiro termo (menor ângulo) e r a razão da PA. Então, os 15 ângulos são: a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., a1 + 14r.

A soma dos termos da PA é dada por S = (n/2) * (2a1 + (n-1)r), onde n=15.

Assim, 360 = (15/2) * (2a1 + 14r) => 360 = (15/2)(2a1 + 14r).

Multiplicando ambos os lados por 2: 720 = 15(2a1 + 14r) => 720/15 = 2a1 + 14r => 48 = 2a1 + 14r.

Dividindo por 2: 24 = a1 + 7r.

Queremos a menor medida possível para a1, com a1 e r inteiros positivos.

Assim, a1 = 24 - 7r.

Como a1 > 0 e r > 0, testamos valores inteiros para r:

r=1 => a1=24-7=17 (positivo)
r=2 => a1=24-14=10 (positivo)
r=3 => a1=24-21=3 (positivo)
r=4 => a1=24-28=-4 (negativo, inválido)

Portanto, os valores possíveis para a1 são 17, 10 e 3.

Queremos a menor medida possível, então a1=3.

Assim, a menor medida possível do menor ângulo é 3 graus.

Checagem dupla confirma que a soma dos ângulos com a1=3 e r=3 é 360 graus, pois:
S = (15/2)(2*3 + 14*3) = (15/2)(6 + 42) = (15/2)(48) = 15*24 = 360.

Portanto, a resposta correta é a letra c).