Letícia Cunha
EQUIPE
23/10/2025 • 02:46
Gabarito: c)
O problema envolve dividir um círculo em 15 setores cujos ângulos centrais formam uma progressão aritmética (PA) de números inteiros positivos.
Sabemos que a soma dos ângulos centrais de todos os setores é 360 graus, pois é um círculo completo.
Sejam a1 o primeiro termo (menor ângulo) e r a razão da PA. Então, os 15 ângulos são: a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., a1 + 14r.
A soma dos termos da PA é dada por S = (n/2) * (2a1 + (n-1)r), onde n=15.
Assim, 360 = (15/2) * (2a1 + 14r) => 360 = (15/2)(2a1 + 14r).
Multiplicando ambos os lados por 2: 720 = 15(2a1 + 14r) => 720/15 = 2a1 + 14r => 48 = 2a1 + 14r.
Dividindo por 2: 24 = a1 + 7r.
Queremos a menor medida possível para a1, com a1 e r inteiros positivos.
Assim, a1 = 24 - 7r.
Como a1 > 0 e r > 0, testamos valores inteiros para r:
r=1 => a1=24-7=17 (positivo)
r=2 => a1=24-14=10 (positivo)
r=3 => a1=24-21=3 (positivo)
r=4 => a1=24-28=-4 (negativo, inválido)
Portanto, os valores possíveis para a1 são 17, 10 e 3.
Queremos a menor medida possível, então a1=3.
Assim, a menor medida possível do menor ângulo é 3 graus.
Checagem dupla confirma que a soma dos ângulos com a1=3 e r=3 é 360 graus, pois:
S = (15/2)(2*3 + 14*3) = (15/2)(6 + 42) = (15/2)(48) = 15*24 = 360.
Portanto, a resposta correta é a letra c).
O problema envolve dividir um círculo em 15 setores cujos ângulos centrais formam uma progressão aritmética (PA) de números inteiros positivos.
Sabemos que a soma dos ângulos centrais de todos os setores é 360 graus, pois é um círculo completo.
Sejam a1 o primeiro termo (menor ângulo) e r a razão da PA. Então, os 15 ângulos são: a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., a1 + 14r.
A soma dos termos da PA é dada por S = (n/2) * (2a1 + (n-1)r), onde n=15.
Assim, 360 = (15/2) * (2a1 + 14r) => 360 = (15/2)(2a1 + 14r).
Multiplicando ambos os lados por 2: 720 = 15(2a1 + 14r) => 720/15 = 2a1 + 14r => 48 = 2a1 + 14r.
Dividindo por 2: 24 = a1 + 7r.
Queremos a menor medida possível para a1, com a1 e r inteiros positivos.
Assim, a1 = 24 - 7r.
Como a1 > 0 e r > 0, testamos valores inteiros para r:
r=1 => a1=24-7=17 (positivo)
r=2 => a1=24-14=10 (positivo)
r=3 => a1=24-21=3 (positivo)
r=4 => a1=24-28=-4 (negativo, inválido)
Portanto, os valores possíveis para a1 são 17, 10 e 3.
Queremos a menor medida possível, então a1=3.
Assim, a menor medida possível do menor ângulo é 3 graus.
Checagem dupla confirma que a soma dos ângulos com a1=3 e r=3 é 360 graus, pois:
S = (15/2)(2*3 + 14*3) = (15/2)(6 + 42) = (15/2)(48) = 15*24 = 360.
Portanto, a resposta correta é a letra c).