David Castilho
EQUIPE
18/10/2025 • 11:56
Para resolver essa questão, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria. Temos dois círculos com raios de 20 cm e 15 cm, e a distância entre os centros dos círculos é de 25 cm. Precisamos encontrar o comprimento da corda que é comum aos dois círculos.
Primeiro, vamos desenhar os dois círculos com os centros \(O_1\) e \(O_2\), e a distância entre \(O_1\) e \(O_2\) é de 25 cm. A corda comum aos dois círculos toca o primeiro círculo em \(A\) e o segundo em \(B\). O ponto \(P\) é o ponto onde a linha que une os centros \(O_1O_2\) corta a corda \(AB\).
Vamos considerar os triângulos \(O_1PA\) e \(O_2PB\). Como \(O_1P + O_2P = 25\) cm (a distância entre os centros), precisamos encontrar \(O_1P\) e \(O_2P\). Usando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos \(O_1PA\) e \(O_2PB\), temos:
\[ O_1P^2 + AP^2 = 20^2 \]
\[ O_2P^2 + PB^2 = 15^2 \]
Como \(AP = PB\) (pois \(P\) é o ponto médio da corda \(AB\)), podemos chamar \(AP = PB = x\). Então:
\[ O_1P^2 + x^2 = 400 \]
\[ O_2P^2 + x^2 = 225 \]
Sabemos que \(O_1P + O_2P = 25\), então \(O_2P = 25 - O_1P\). Substituindo isso na segunda equação:
\[ (25 - O_1P)^2 + x^2 = 225 \]
Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente. Substituindo \(x^2 = 400 - O_1P^2\) na segunda equação:
\[ (25 - O_1P)^2 + 400 - O_1P^2 = 225 \]
\[ 625 - 50O_1P + O_1P^2 + 400 - O_1P^2 = 225 \]
\[ 1025 - 50O_1P = 225 \]
\[ 50O_1P = 800 \]
\[ O_1P = 16 \]
Substituindo \(O_1P = 16\) em \(x^2 = 400 - O_1P^2\):
\[ x^2 = 400 - 256 = 144 \]
\[ x = 12 \]
A corda \(AB\) tem comprimento \(2x\), então \(AB = 2 \times 12 = 24\) cm.
Gabarito: b)
A corda comum aos dois círculos mede 24 cm.
Primeiro, vamos desenhar os dois círculos com os centros \(O_1\) e \(O_2\), e a distância entre \(O_1\) e \(O_2\) é de 25 cm. A corda comum aos dois círculos toca o primeiro círculo em \(A\) e o segundo em \(B\). O ponto \(P\) é o ponto onde a linha que une os centros \(O_1O_2\) corta a corda \(AB\).
Vamos considerar os triângulos \(O_1PA\) e \(O_2PB\). Como \(O_1P + O_2P = 25\) cm (a distância entre os centros), precisamos encontrar \(O_1P\) e \(O_2P\). Usando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos \(O_1PA\) e \(O_2PB\), temos:
\[ O_1P^2 + AP^2 = 20^2 \]
\[ O_2P^2 + PB^2 = 15^2 \]
Como \(AP = PB\) (pois \(P\) é o ponto médio da corda \(AB\)), podemos chamar \(AP = PB = x\). Então:
\[ O_1P^2 + x^2 = 400 \]
\[ O_2P^2 + x^2 = 225 \]
Sabemos que \(O_1P + O_2P = 25\), então \(O_2P = 25 - O_1P\). Substituindo isso na segunda equação:
\[ (25 - O_1P)^2 + x^2 = 225 \]
Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente. Substituindo \(x^2 = 400 - O_1P^2\) na segunda equação:
\[ (25 - O_1P)^2 + 400 - O_1P^2 = 225 \]
\[ 625 - 50O_1P + O_1P^2 + 400 - O_1P^2 = 225 \]
\[ 1025 - 50O_1P = 225 \]
\[ 50O_1P = 800 \]
\[ O_1P = 16 \]
Substituindo \(O_1P = 16\) em \(x^2 = 400 - O_1P^2\):
\[ x^2 = 400 - 256 = 144 \]
\[ x = 12 \]
A corda \(AB\) tem comprimento \(2x\), então \(AB = 2 \times 12 = 24\) cm.
Gabarito: b)
A corda comum aos dois círculos mede 24 cm.