David Castilho
EQUIPE
18/10/2025 • 13:38
Para resolver essa questão, precisamos encontrar a projeção ortogonal do ponto \( A \) sobre a reta definida pelos pontos \( B \) e \( C \). Vamos começar encontrando a equação da reta \( BC \) e, em seguida, usar a fórmula da projeção ortogonal.
Primeiro, determinamos o vetor diretor da reta \( BC \), que é dado por:
\[ \vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (9 - 1, 6 - 1) = (8, 5) \]
Agora, a equação da reta \( BC \) em sua forma paramétrica é:
\[ x = 1 + 8t \]
\[ y = 1 + 5t \]
Para encontrar a projeção ortogonal de \( A \) sobre \( BC \), usamos a fórmula:
\[ \text{Proj}_{BC} A = B + \frac{(A-B) \cdot \vec{BC}}{\vec{BC} \cdot \vec{BC}} \vec{BC} \]
Calculamos \( A - B \):
\[ A - B = (3 - 1, 7 - 1) = (2, 6) \]
O produto escalar \( (A-B) \cdot \vec{BC} \) é:
\[ (2, 6) \cdot (8, 5) = 2 \times 8 + 6 \times 5 = 16 + 30 = 46 \]
O produto escalar \( \vec{BC} \cdot \vec{BC} \) é:
\[ (8, 5) \cdot (8, 5) = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89 \]
Portanto, a projeção é:
\[ \text{Proj}_{BC} A = (1, 1) + \frac{46}{89} (8, 5) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = (1, 1) + \left(\frac{368}{89}, \frac{230}{89}\right) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = \left(1 + \frac{368}{89}, 1 + \frac{230}{89}\right) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = \left(\frac{457}{89}, \frac{319}{89}\right) \]
Portanto, as coordenadas da projeção ortogonal de \( A \) sobre a reta \( BC \) são \( x = 457/89 \) e \( y = 319/89 \).
Gabarito: d) x = 457/89; y = 319/89.
Primeiro, determinamos o vetor diretor da reta \( BC \), que é dado por:
\[ \vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (9 - 1, 6 - 1) = (8, 5) \]
Agora, a equação da reta \( BC \) em sua forma paramétrica é:
\[ x = 1 + 8t \]
\[ y = 1 + 5t \]
Para encontrar a projeção ortogonal de \( A \) sobre \( BC \), usamos a fórmula:
\[ \text{Proj}_{BC} A = B + \frac{(A-B) \cdot \vec{BC}}{\vec{BC} \cdot \vec{BC}} \vec{BC} \]
Calculamos \( A - B \):
\[ A - B = (3 - 1, 7 - 1) = (2, 6) \]
O produto escalar \( (A-B) \cdot \vec{BC} \) é:
\[ (2, 6) \cdot (8, 5) = 2 \times 8 + 6 \times 5 = 16 + 30 = 46 \]
O produto escalar \( \vec{BC} \cdot \vec{BC} \) é:
\[ (8, 5) \cdot (8, 5) = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89 \]
Portanto, a projeção é:
\[ \text{Proj}_{BC} A = (1, 1) + \frac{46}{89} (8, 5) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = (1, 1) + \left(\frac{368}{89}, \frac{230}{89}\right) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = \left(1 + \frac{368}{89}, 1 + \frac{230}{89}\right) \]
\[ \text{Proj}_{BC} A = \left(\frac{457}{89}, \frac{319}{89}\right) \]
Portanto, as coordenadas da projeção ortogonal de \( A \) sobre a reta \( BC \) são \( x = 457/89 \) e \( y = 319/89 \).
Gabarito: d) x = 457/89; y = 319/89.