Matheus Fernandes
31/12/1969 • 21:00
Para encontrar o coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento do binômio \((x + 2)^n\), segundo as potências decrescentes de x, podemos utilizar o Teorema do Binômio de Newton. Esse teorema nos permite expandir expressões do tipo \((a + b)^n\), onde "a" e "b" são números quaisquer e "n" é um número natural.
A fórmula para encontrar o termo geral de um binômio é dada por:
\[T_k = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k\]
Onde:
- \(T_k\) é o k-ésimo termo da expansão;
- \(\binom{n}{k}\) é o coeficiente binomial;
- \(a\) e \(b\) são os termos do binômio;
- \(n\) é o expoente do binômio;
- \(k\) é o índice do termo desejado.
No caso do binômio \((x + 2)^n\), temos "a = x", "b = 2" e queremos encontrar o terceiro termo, ou seja, \(k = 2\).
Dado que o coeficiente do terceiro termo é igual a 60, temos que:
\[T_2 = \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot 2^2 = 60\]
\[ \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot 4 = 60\]
Como o coeficiente do terceiro termo é 60, e o coeficiente binomial \(\binom{n}{2}\) é o mesmo que o coeficiente do terceiro termo, temos que \(\binom{n}{2} = 60\).
O coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\) é dado por \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). Substituindo na equação, temos:
\[\frac{n!}{2!(n-2)!} = 60\]
Simplificando, temos:
\[\frac{n!}{2(n-2)!} = 60\]
\[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = 60\]
\[ \frac{n \cdot (n-1)}{2} = 60\]
\[ n \cdot (n-1) = 120\]
\[ n^2 - n - 120 = 0\]
Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos as raízes:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1}\]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 480}}{2}\]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2}\]
Portanto, o valor de n pertence ao conjunto {5, 6}.
Gabarito: b)
A fórmula para encontrar o termo geral de um binômio é dada por:
\[T_k = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k\]
Onde:
- \(T_k\) é o k-ésimo termo da expansão;
- \(\binom{n}{k}\) é o coeficiente binomial;
- \(a\) e \(b\) são os termos do binômio;
- \(n\) é o expoente do binômio;
- \(k\) é o índice do termo desejado.
No caso do binômio \((x + 2)^n\), temos "a = x", "b = 2" e queremos encontrar o terceiro termo, ou seja, \(k = 2\).
Dado que o coeficiente do terceiro termo é igual a 60, temos que:
\[T_2 = \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot 2^2 = 60\]
\[ \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot 4 = 60\]
Como o coeficiente do terceiro termo é 60, e o coeficiente binomial \(\binom{n}{2}\) é o mesmo que o coeficiente do terceiro termo, temos que \(\binom{n}{2} = 60\).
O coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\) é dado por \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). Substituindo na equação, temos:
\[\frac{n!}{2!(n-2)!} = 60\]
Simplificando, temos:
\[\frac{n!}{2(n-2)!} = 60\]
\[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = 60\]
\[ \frac{n \cdot (n-1)}{2} = 60\]
\[ n \cdot (n-1) = 120\]
\[ n^2 - n - 120 = 0\]
Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos as raízes:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1}\]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 480}}{2}\]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2}\]
Portanto, o valor de n pertence ao conjunto {5, 6}.
Gabarito: b)