O número de soluções, em ℝ , da equação |x+2|+|x−1|=x+1 , é igual a

Gabarito: a)

Vamos analisar a equação |x+2| + |x-1| = x + 1.

Primeiro, identificamos os pontos críticos onde o valor absoluto muda de expressão: x = -2 e x = 1.

Dividimos a reta real em três intervalos: x < -2, -2 ≤ x ≤ 1, e x > 1.

1) Para x < -2:
|x+2| = -(x+2) = -x - 2
|x-1| = -(x-1) = -x + 1
Somando: (-x - 2) + (-x + 1) = -2x - 1
A equação fica: -2x - 1 = x + 1
Rearranjando: -2x - 1 - x - 1 = 0 => -3x - 2 = 0 => x = -2/3
Mas x = -2/3 não está no intervalo x < -2, logo, nenhuma solução aqui.

2) Para -2 ≤ x ≤ 1:
|x+2| = x + 2
|x-1| = -(x - 1) = -x + 1
Somando: (x + 2) + (-x + 1) = 3
A equação fica: 3 = x + 1
Rearranjando: x = 2
Mas x = 2 não está no intervalo [-2, 1], logo, nenhuma solução aqui.

3) Para x > 1:
|x+2| = x + 2
|x-1| = x - 1
Somando: (x + 2) + (x - 1) = 2x + 1
A equação fica: 2x + 1 = x + 1
Rearranjando: 2x + 1 - x - 1 = 0 => x = 0
Mas x = 0 não está no intervalo x > 1, logo, nenhuma solução aqui.

Portanto, não há valores de x que satisfaçam a equação em nenhum dos intervalos.

Checagem dupla confirma que a equação não possui soluções reais.

Assim, o número de soluções em R é zero.