A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação ...

Gabarito: a)

Para encontrar a equação da circunferência, precisamos do centro e do raio. O centro é dado: (1, -1).

A equação geral da circunferência é (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h, k) é o centro.

Sabemos que a circunferência é tangente à reta y = (3/4)x + 2. A distância do centro à reta é igual ao raio.

A distância de um ponto (x0, y0) à reta Ax + By + C = 0 é dada por |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A² + B²).

Reescrevendo a reta: y = (3/4)x + 2 => 3x - 4y + 8 = 0.

Calculando a distância do ponto (1, -1): |3*1 - 4*(-1) + 8| / sqrt(3² + (-4)²) = |3 + 4 + 8| / 5 = 15 / 5 = 3.

Logo, o raio r = 3.

A equação da circunferência é (x - 1)² + (y + 1)² = 9.

Expandindo: x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 9 => x² + y² - 2x + 2y + 2 = 9 => x² + y² - 2x + 2y - 7 = 0.

Portanto, a alternativa correta é a letra a).

Checagem dupla confirma que a distância calculada e a expansão da equação estão corretas, garantindo a resposta correta.