No ramo da matemática que estuda as características das mais diversas figuras, os poliedros são figuras geométricas sólidas e espaciais. Eles têm como característica seus três componentes básicos: face, vértice e aresta.

Classificação dos Poliedros

Os poliedros são classificados como regulares ou como não regulares.

Poliedros regulares

Conhecidos como Poliedros de Platão, os cinco poliedros cujas faces formam polígonos regulares e congruentes são chamados de Poliedros Regulares. São eles o: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.

Como visto acima, cada um possui sua particularidade.

• O tetraedro é um poliedro formado por 4 faces retangulares, 4 vértices e 6 arestas.
• O hexaedro é formado por 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices.
• O octaedro possui 8 faces triangulares, 12 arestas e 6 vértices.
• O dodecaedro é um sólido geométrico formado por 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices.
• O icosaedro é uma figura formada 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices.

Poliedros irregulares

Já os Poliedros Irregulares são aqueles formados tanto por polígonos regulares quanto pelos irregulares.

Prisma

O prisma, por exemplo, é um exemplo de poliedro irregular e possui uma figura geométrica em sua base e outro compondo sua área lateral.

Acima vemos um exemplo de prisma, cuja base é formada por um pentágono e as laterais são compostas por 5 retângulos congruentes.

Pirâmides

Outro exemplo de polígonos irregulares são as pirâmides. Formada por uma base poligonal, a pirâmide possui um vértice em seu topo que liga todas as suas faces laterais.

Teorema de Euler

Válido somente para os Polígonos Regulares, o teorema desenvolvido pelo matemático Euler relaciona os três principais componentes dos poliedros: as faces, os lados e os vértices.

V + F = A + 2

No qual:

• V = número de vértices
• F = número de faces
• A = número de arestas

A partir dessa pequena equação poderemos resolver diversos problemas que englobem o tema dos poliedros, veja abaixo:

Exemplos e exercícios resolvidos

1) Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?

Utilizando V + F = A + 2, temos:

18 + 16 = A + 2
34 = A + 2
A = 32

2) (FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?

a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

De acordo com o enunciado sabemos que A = V + 6.

V + F = A + 2
V + F – A = 2
V –(V + 6) + F = 2
V – V - 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Letra b

3) (Vassouras RJ – IBFC 2015). Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é:

a) 12
b) 9
c) 15
d) 11
e) 10

Inserindo todas as informações cedidas pelo enunciado no Teorema de Euler:

V + F = A + 2
V + 9 = 16 + 2
V = 18 – 9
V = 9
Letra b

Exercícios resolvidos com gabarito

As figuras sólidas denominadas Poliedros ocupam uma notória importância no estudo matemático da geometria.

Assim como diversas outras figuras e características geométricas, os poliedros também são cobrados em algumas provas aplicadas no Brasil, principalmente nos vestibulares não unificados ao ENEM, Exame Nacional do Ensino Médio.

Veremos abaixo algumas questões de concurso com gabarito que exigem o conhecimento das características dos poliedros.

1) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:

a) 10
b) 20
c) 24
d) 30
e) 32

Através do enunciado recebemos a informação de que F + 18 é igual ao número de arestas, ou seja, o número de arestas é igual ao número de faces mais 18 unidades.

A = F + 18

Após desenvolvermos essa igualdade, devemos substituí-la dentro da Relação de Euler e descobrir o valor que a questão pede, ou seja, o número de vértices.

V + F = A + 2
V + F – A = 2
V + F –(F + 18) = 2
V + F – F -18 = 2
V = 2 + 18
V = 20

O valor de vértices é 20, logo letra b.

2) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:

a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.

Como foi informado que temos 11 faces nessa pirâmide, concluindo que existe mais uma face que compõe a base chegamos a um valor de 12 faces no total. Sendo 12 faces triangulares, logo teremos também 12 vértices.

Nesse primeiro momento podemos eliminar as nativas a, c e d, uma vez que sabemos que o número de vértices é 12 e apenas as opções b e e apresentam essa informação.

Sabendo que essa pirâmide possui 12 faces e 12 vértices devemos inserir essas informações na relação de Euler e descobrir o número de arestas e resolver a questão.

V + F = A + 2
12 + 12 = A + 2
24 = A + 2
A = 24 – 2
A = 22

Se possuímos 12 vértices e 22 arestas, logo concluímos que a resposta da questão é a letra e.

3) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:

a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12

Em um primeiro momento, precisamos compreender polígonos convexos compartilham arestas. A partir disso, o número de faces triangulares t e o número de faces quadrangulares q será igual a duas vezes o valor da aresta.

2A = 3t + 4q
2A = 3 * 6 + 4 * 5
2A = 18 + 20
2A = 38
A = 19

Conhecendo o número de arestas e faces poderemos descobrir o número de vértices aplicando a relação de Euler.

V + F = A + 2
V + 11 = 19 + 2
V = 21 – 11
V = 10

Tendo 19 arestas e 10 vértices, chegamos à resposta letra b.