Questões Matemática Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas
A largura da faixa de areia de uma praia varia com o tempo devido ao movimento das m...
Responda: A largura da faixa de areia de uma praia varia com o tempo devido ao movimento das marés. Em metros, a larguraCda faixa de areia, em função do tempot, em horas, é expressa por C(t)= 30...
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Por Marcos de Castro em 31/12/1969 21:00:00
Para encontrar o período de \( C \) e a largura máxima da faixa de areia, precisamos analisar a função dada:
\[ C(t) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \]
Na função \( C(t) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \), o período é dado por \( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{12}} = 24 \) horas. Portanto, o período da função é de 24 horas.
Para encontrar a largura máxima da faixa de areia, podemos observar que o valor máximo que o seno pode atingir é 1. Assim, a largura máxima da faixa de areia ocorre quando \( \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) = 1 \), ou seja, quando \( \frac{\pi t}{12} = \frac{\pi}{2} \).
Resolvendo a equação, temos:
\[ \frac{\pi t}{12} = \frac{\pi}{2} \]
\[ t = 6 \]
Portanto, a largura máxima da faixa de areia ocorre em \( t = 6 \) horas, e seu valor é:
\[ C(6) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 30 + 20 \cdot 1 = 50 \]
Assim, o período de \( C \) é de 24 horas e a largura máxima da faixa de areia é de 50 metros.
Gabarito: a)
\[ C(t) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \]
Na função \( C(t) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \), o período é dado por \( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{12}} = 24 \) horas. Portanto, o período da função é de 24 horas.
Para encontrar a largura máxima da faixa de areia, podemos observar que o valor máximo que o seno pode atingir é 1. Assim, a largura máxima da faixa de areia ocorre quando \( \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) = 1 \), ou seja, quando \( \frac{\pi t}{12} = \frac{\pi}{2} \).
Resolvendo a equação, temos:
\[ \frac{\pi t}{12} = \frac{\pi}{2} \]
\[ t = 6 \]
Portanto, a largura máxima da faixa de areia ocorre em \( t = 6 \) horas, e seu valor é:
\[ C(6) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right) = 30 + 20 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 30 + 20 \cdot 1 = 50 \]
Assim, o período de \( C \) é de 24 horas e a largura máxima da faixa de areia é de 50 metros.
Gabarito: a)
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