Um pedreiro pretende construir um galpão de área retangular para guardar seus...

Para resolver esse problema, vamos chamar de x a medida do comprimento do galpão e de y a medida da largura do galpão.

Sabemos que a quantidade total de material disponível é suficiente para 1000 metros de comprimento de parede. Como o galpão terá 3 lados (comprimento, largura e comprimento), a quantidade de material utilizada será 2x + y.

Dado que o pedreiro pretende deixar a frente do terreno para posteriormente colocar um portão, a área do galpão será dada por A = x * y.

Queremos maximizar a área A do galpão, sujeito à restrição de que a quantidade de material utilizada não ultrapasse 1000 metros.

Assim, temos o seguinte problema de otimização:

Maximizar A = x * y
Sujeito a: 2x + y = 1000

Agora, vamos isolar a variável y na equação de restrição:
y = 1000 - 2x

Substituímos o valor de y na equação da área A:
A = x * (1000 - 2x)
A = 1000x - 2x^2

Para encontrar o valor máximo da área, derivamos a equação em relação a x e igualamos a zero:
dA/dx = 1000 - 4x
1000 - 4x = 0
4x = 1000
x = 250

Substituímos o valor de x na equação de restrição para encontrar y:
2*250 + y = 1000
500 + y = 1000
y = 500

Portanto, as dimensões dos lados do galpão para que sua área seja a maior possível são 250m e 500m.

Gabarito: c) 250 m e 500 m