Letícia Cunha
31/12/1969 • 21:00
Vamos resolver essa questão passo a passo:
1. Escolha dos Vértices: Primeiro, precisamos escolher quais dos 5 vértices serão iluminados. Como o número mínimo de vértices iluminados deve ser três, podemos iluminar 3, 4 ou todos os 5 vértices. O número de maneiras de escolher k vértices de 5 é dado pelo coeficiente binomial \(\binom{5}{k}\), onde k pode ser 3, 4 ou 5.
- Para k = 3: \(\binom{5}{3} = 10\)
- Para k = 4: \(\binom{5}{4} = 5\)
- Para k = 5: \(\binom{5}{5} = 1\)
Somando esses valores, temos \(10 + 5 + 1 = 16\) maneiras de escolher os vértices a serem iluminados.
2. Escolha das Lâmpadas: Em cada vértice escolhido, podemos acender uma lâmpada vermelha ou uma verde. Portanto, para cada configuração de vértices escolhidos, temos 2 opções de lâmpada por vértice.
- Para 3 vértices iluminados: \(2^3 = 8\) combinações de cores.
- Para 4 vértices iluminados: \(2^4 = 16\) combinações de cores.
- Para 5 vértices iluminados: \(2^5 = 32\) combinações de cores.
3. Total de Mensagens: Agora, multiplicamos o número de maneiras de escolher os vértices pelo número de combinações de cores para cada caso:
- Com 3 vértices: \(10 \times 8 = 80\)
- Com 4 vértices: \(5 \times 16 = 80\)
- Com 5 vértices: \(1 \times 32 = 32\)
Somando todos esses valores, obtemos \(80 + 80 + 32 = 192\) mensagens possíveis.
Portanto, o total de mensagens que podem ser transmitidas por esse sinaleiro é 192.
Gabarito: a) 192
1. Escolha dos Vértices: Primeiro, precisamos escolher quais dos 5 vértices serão iluminados. Como o número mínimo de vértices iluminados deve ser três, podemos iluminar 3, 4 ou todos os 5 vértices. O número de maneiras de escolher k vértices de 5 é dado pelo coeficiente binomial \(\binom{5}{k}\), onde k pode ser 3, 4 ou 5.
- Para k = 3: \(\binom{5}{3} = 10\)
- Para k = 4: \(\binom{5}{4} = 5\)
- Para k = 5: \(\binom{5}{5} = 1\)
Somando esses valores, temos \(10 + 5 + 1 = 16\) maneiras de escolher os vértices a serem iluminados.
2. Escolha das Lâmpadas: Em cada vértice escolhido, podemos acender uma lâmpada vermelha ou uma verde. Portanto, para cada configuração de vértices escolhidos, temos 2 opções de lâmpada por vértice.
- Para 3 vértices iluminados: \(2^3 = 8\) combinações de cores.
- Para 4 vértices iluminados: \(2^4 = 16\) combinações de cores.
- Para 5 vértices iluminados: \(2^5 = 32\) combinações de cores.
3. Total de Mensagens: Agora, multiplicamos o número de maneiras de escolher os vértices pelo número de combinações de cores para cada caso:
- Com 3 vértices: \(10 \times 8 = 80\)
- Com 4 vértices: \(5 \times 16 = 80\)
- Com 5 vértices: \(1 \times 32 = 32\)
Somando todos esses valores, obtemos \(80 + 80 + 32 = 192\) mensagens possíveis.
Portanto, o total de mensagens que podem ser transmitidas por esse sinaleiro é 192.
Gabarito: a) 192