Um sistema cartesiano de coordenadas (xy) foi disposto sobre um grande terreno plano. N...

Gabarito: a)
Para encontrar o ponto na reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P(1,3), precisamos calcular a projeção ortogonal de P sobre a reta. A equação da reta pode ser reescrita na forma y = -2x + 3 para facilitar a visualização da inclinação e do intercepto.

A reta perpendicular a 2x + y = 3 que passa por P(1,3) terá uma inclinação oposta ao coeficiente de x na equação da reta original. Assim, a inclinação da reta perpendicular é 1/2 (pois a inclinação de -2 é invertida e negada). A equação dessa reta perpendicular, usando o ponto P e a inclinação encontrada, é y - 3 = 1/2(x - 1), que simplifica para y = 1/2x + 5/2.

Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as duas equações: -2x + 3 = 1/2x + 5/2. Resolvendo essa equação para x, obtemos x = 1/5. Substituindo x = 1/5 na equação da reta original, y = -2(1/5) + 3 = 13/5. Portanto, o ponto de interseção, que é o ponto mais próximo de P na reta, é (1/5, 13/5).