No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemátic...

Para resolver essa questão, vamos seguir as condições dadas para posicionar os alunos na fotografia:

1. As duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que receberam medalha.
2. Os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro.
3. Os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro.

Vamos organizar as informações:

- 3 alunos do 3° esquadrão ganharam medalha.
- 9 alunos do 2° esquadrão ganharam medalha.
- 2 alunos do 1° esquadrão ganharam medalha.
- Os demais alunos (menção honrosa) são 2 do 3° esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Vamos começar posicionando os alunos do 2° esquadrão que ganharam medalha nas extremidades. Temos 9 alunos do 2° esquadrão que ganharam medalha, então temos 2 opções para a primeira extremidade e 1 opção para a última extremidade.

Agora, vamos posicionar os alunos do 1° esquadrão que ganharam medalha. Como eles devem ficar um ao lado do outro, temos apenas 1 maneira de posicioná-los.

Em seguida, vamos posicionar os alunos do 3° esquadrão que ganharam medalha. Eles também devem ficar um ao lado do outro, então temos 1 maneira de posicioná-los.

Restam agora os alunos que receberam menção honrosa, que são 2 do 3° esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. Como eles devem ficar agachados, sem alteração de posição entre eles, temos que considerar a permutação desses alunos.

Portanto, o número total de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas é dado por:

2 (extremidades) * 1 (alunos do 1° esquadrão) * 1 (alunos do 3° esquadrão) * 8! (permutação dos alunos que receberam menção honrosa)

Assim, o número total de fotografias distintas possíveis é 2 * 1 * 1 * 8! = 2 * 8! = 2 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 2 * 40320 = 80640.

Portanto, o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas é 80640.

Gabarito: d)