Rodrigo Ferreira
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: c)
Temos um arame de 68 cm dividido em dois pedaços de comprimentos diferentes, digamos x e 68 - x.
Cada pedaço é usado para formar um quadrado. O lado do quadrado formado pelo pedaço x será x/4, e o lado do quadrado formado pelo pedaço 68 - x será (68 - x)/4.
A área do quadrado formado pelo pedaço x é (x/4)^2 = x^2 / 16.
A área do quadrado formado pelo pedaço 68 - x é ((68 - x)/4)^2 = (68 - x)^2 / 16.
A soma das áreas é dada por x^2 / 16 + (68 - x)^2 / 16 = 169.
Multiplicando ambos os lados por 16, temos x^2 + (68 - x)^2 = 2704.
Expandindo (68 - x)^2, temos x^2 + (4624 - 136x + x^2) = 2704.
Somando os termos semelhantes: 2x^2 - 136x + 4624 = 2704.
Subtraindo 2704 de ambos os lados: 2x^2 - 136x + 1920 = 0.
Dividindo toda a equação por 2: x^2 - 68x + 960 = 0.
Resolvendo a equação quadrática x^2 - 68x + 960 = 0 pelo método de Bhaskara:
Delta = 68^2 - 4*1*960 = 4624 - 3840 = 784.
Raiz quadrada de delta = 28.
As raízes são:
x1 = (68 + 28)/2 = 96/2 = 48.
x2 = (68 - 28)/2 = 40/2 = 20.
Como os pedaços são diferentes, os comprimentos são 20 cm e 48 cm.
O pedaço maior, portanto, tem 48 cm.
Checagem dupla confirma que a soma das áreas com esses valores é 169 cm2, confirmando a resposta correta.
Assim, o comprimento do pedaço maior é 48 cm, alternativa c).
Temos um arame de 68 cm dividido em dois pedaços de comprimentos diferentes, digamos x e 68 - x.
Cada pedaço é usado para formar um quadrado. O lado do quadrado formado pelo pedaço x será x/4, e o lado do quadrado formado pelo pedaço 68 - x será (68 - x)/4.
A área do quadrado formado pelo pedaço x é (x/4)^2 = x^2 / 16.
A área do quadrado formado pelo pedaço 68 - x é ((68 - x)/4)^2 = (68 - x)^2 / 16.
A soma das áreas é dada por x^2 / 16 + (68 - x)^2 / 16 = 169.
Multiplicando ambos os lados por 16, temos x^2 + (68 - x)^2 = 2704.
Expandindo (68 - x)^2, temos x^2 + (4624 - 136x + x^2) = 2704.
Somando os termos semelhantes: 2x^2 - 136x + 4624 = 2704.
Subtraindo 2704 de ambos os lados: 2x^2 - 136x + 1920 = 0.
Dividindo toda a equação por 2: x^2 - 68x + 960 = 0.
Resolvendo a equação quadrática x^2 - 68x + 960 = 0 pelo método de Bhaskara:
Delta = 68^2 - 4*1*960 = 4624 - 3840 = 784.
Raiz quadrada de delta = 28.
As raízes são:
x1 = (68 + 28)/2 = 96/2 = 48.
x2 = (68 - 28)/2 = 40/2 = 20.
Como os pedaços são diferentes, os comprimentos são 20 cm e 48 cm.
O pedaço maior, portanto, tem 48 cm.
Checagem dupla confirma que a soma das áreas com esses valores é 169 cm2, confirmando a resposta correta.
Assim, o comprimento do pedaço maior é 48 cm, alternativa c).