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De uma amostra aleatória de tamanho 64 extraída, com reposição, de uma população normal...
Responda: De uma amostra aleatória de tamanho 64 extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída e variância conhecida ?2, obteve-se um intervalo de confiança de 95% igual a [23, 27] para a...
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Por Letícia Cunha em 31/12/1969 21:00:00
Para resolver essa questão, vamos primeiro entender como a amplitude do intervalo de confiança está relacionada ao tamanho da amostra.
A amplitude do intervalo de confiança para a média de uma população normalmente distribuída, com variância conhecida, é dada por:
\[ \text{Amplitude} = 2 \times Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
onde:
- \( Z \) é o valor crítico da distribuição normal padrão para um nível de confiança de 95%, que é aproximadamente 1,96.
- \( \sigma \) é o desvio padrão da população.
- \( n \) é o tamanho da amostra.
No caso dado, o intervalo de confiança de 95% é [23, 27], então a amplitude é \( 27 - 23 = 4 \).
Agora, queremos que a nova amplitude seja metade da original, ou seja, \( 4 / 2 = 2 \).
Usando a fórmula da amplitude, temos:
\[ 2 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n_{\text{new}}}} \]
Sabemos que para a amostra original de tamanho 64, a amplitude era 4:
\[ 4 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}} \]
Podemos igualar as duas expressões para encontrar a relação entre \( n_{\text{new}} \) e 64:
\[ 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n_{\text{new}}}} = \frac{1}{2} \times (2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}}) \]
Simplificando, temos:
\[ \frac{1}{\sqrt{n_{\text{new}}}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{64}} \]
\[ \sqrt{n_{\text{new}}} = 2 \times \sqrt{64} \]
\[ \sqrt{n_{\text{new}}} = 2 \times 8 = 16 \]
\[ n_{\text{new}} = 16^2 = 256 \]
Portanto, para obter um intervalo de confiança com metade da amplitude original, é necessário extrair uma amostra de tamanho 256.
Gabarito: d) 256.
A amplitude do intervalo de confiança para a média de uma população normalmente distribuída, com variância conhecida, é dada por:
\[ \text{Amplitude} = 2 \times Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
onde:
- \( Z \) é o valor crítico da distribuição normal padrão para um nível de confiança de 95%, que é aproximadamente 1,96.
- \( \sigma \) é o desvio padrão da população.
- \( n \) é o tamanho da amostra.
No caso dado, o intervalo de confiança de 95% é [23, 27], então a amplitude é \( 27 - 23 = 4 \).
Agora, queremos que a nova amplitude seja metade da original, ou seja, \( 4 / 2 = 2 \).
Usando a fórmula da amplitude, temos:
\[ 2 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n_{\text{new}}}} \]
Sabemos que para a amostra original de tamanho 64, a amplitude era 4:
\[ 4 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}} \]
Podemos igualar as duas expressões para encontrar a relação entre \( n_{\text{new}} \) e 64:
\[ 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n_{\text{new}}}} = \frac{1}{2} \times (2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}}) \]
Simplificando, temos:
\[ \frac{1}{\sqrt{n_{\text{new}}}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{64}} \]
\[ \sqrt{n_{\text{new}}} = 2 \times \sqrt{64} \]
\[ \sqrt{n_{\text{new}}} = 2 \times 8 = 16 \]
\[ n_{\text{new}} = 16^2 = 256 \]
Portanto, para obter um intervalo de confiança com metade da amplitude original, é necessário extrair uma amostra de tamanho 256.
Gabarito: d) 256.
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