Sabe-se que os dias “x de agosto” e “2x de setembro” caem em um mesmo dia da semana. As...

Gabarito: d)

Vamos analisar o problema passo a passo. Temos dois dias: 'x de agosto' e '2x de setembro', que caem no mesmo dia da semana. Queremos encontrar os valores de x que satisfazem essa condição e somá-los.

Primeiro, note que agosto tem 31 dias. O dia 'x de agosto' é um dia qualquer entre 1 e 31.

O dia '2x de setembro' significa o dia que é o dobro de x no mês de setembro. Como setembro tem 30 dias, o valor '2x' deve ser menor ou igual a 30, ou seja, 2x ≤ 30, logo x ≤ 15.

Agora, para que os dois dias caiam no mesmo dia da semana, a diferença entre eles deve ser múltiplo de 7 dias.

Vamos calcular a diferença em dias entre '2x de setembro' e 'x de agosto'.

De 'x de agosto' até o final de agosto, temos (31 - x) dias.

Depois, em setembro, até o dia '2x', temos 2x dias.

Portanto, a diferença entre as datas é (31 - x) + 2x = 31 + x dias.

Para que os dias sejam no mesmo dia da semana, essa diferença deve ser múltiplo de 7:

31 + x ≡ 0 (mod 7)

31 mod 7 = 3 (pois 7*4=28, 31-28=3)

Então, 3 + x ≡ 0 (mod 7) => x ≡ -3 ≡ 4 (mod 7)

Os valores de x que satisfazem essa congruência são x = 4, 11, 18, 25, ...

Mas x deve ser ≤ 15 (pois 2x ≤ 30), e também x ≥ 1 (dia válido).

Assim, os valores possíveis são x = 4 e x = 11.

Somando esses valores: 4 + 11 = 15.

Portanto, a soma dos possíveis valores de x é 15.

Checagem dupla:

- Para x=4: 31 + 4 = 35, que é múltiplo de 7 (7*5=35).
- Para x=11: 31 + 11 = 42, que é múltiplo de 7 (7*6=42).

Ambos satisfazem a condição.

Logo, o gabarito correto é a alternativa d).