João lançou 12 vezes um dado de 12 faces numeradas de 1 a 12, cada face com um número. ...
Responda: João lançou 12 vezes um dado de 12 faces numeradas de 1 a 12, cada face com um número. A média aritmética simples dos números obtidos é igual a 9, o que permite concluir que, por pelo menos
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Por David Castilho em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: b)
Vamos analisar a questão com calma. João lançou 12 vezes um dado de 12 faces, e a média dos números obtidos foi 9. Isso significa que a soma total dos números obtidos é 12 vezes 9, ou seja, 108.
Agora, vamos verificar as alternativas para ver qual delas pode ser garantida a partir dessa informação.
Alternativa a) Diz que pelo menos 9 vezes saiu um número maior que 9. Isso significaria que em pelo menos 9 lançamentos o número foi 10, 11 ou 12. Se isso fosse verdade, a soma mínima desses 9 lançamentos seria 9 vezes 10 = 90. Os outros 3 lançamentos poderiam ser no mínimo 1, somando 3, totalizando 93, que é menor que 108. Então, essa alternativa não é garantida.
Alternativa b) Diz que pelo menos 8 vezes saiu um número maior que 4. Se isso não fosse verdade, ou seja, se em 5 ou mais lançamentos o número fosse 4 ou menor, a soma máxima desses 5 lançamentos seria 5 vezes 4 = 20. Os outros 7 lançamentos poderiam ser no máximo 12, somando 84. Total máximo seria 20 + 84 = 104, que é menor que 108. Como a soma total é 108, essa situação não pode ocorrer, logo, pelo menos 8 vezes saiu um número maior que 4. Portanto, essa alternativa é verdadeira.
Alternativa c) Diz que pelo menos 3 vezes saiu o número 12. Não há como garantir isso apenas com a média 9, pois a média pode ser atingida com combinações variadas.
Alternativa d) Diz que pelo menos 3 vezes saiu o número 3. Também não é garantido.
Alternativa e) Diz que pelo menos 1 vez saiu um número menor que 6. Também não é garantido, pois a média pode ser 9 mesmo que todos os números sejam maiores ou iguais a 6.
Segunda resolução para confirmação:
Suponha que menos de 8 vezes saiu um número maior que 4, ou seja, no máximo 7 vezes. Então, pelo menos 5 vezes saiu um número menor ou igual a 4. O máximo que esses 5 lançamentos podem somar é 5 vezes 4 = 20. Os outros 7 lançamentos, sendo no máximo 12, somam no máximo 84. Total máximo 104, menor que 108. Isso contradiz a soma total, logo a hipótese é falsa.
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Vamos analisar a questão com calma. João lançou 12 vezes um dado de 12 faces, e a média dos números obtidos foi 9. Isso significa que a soma total dos números obtidos é 12 vezes 9, ou seja, 108.
Agora, vamos verificar as alternativas para ver qual delas pode ser garantida a partir dessa informação.
Alternativa a) Diz que pelo menos 9 vezes saiu um número maior que 9. Isso significaria que em pelo menos 9 lançamentos o número foi 10, 11 ou 12. Se isso fosse verdade, a soma mínima desses 9 lançamentos seria 9 vezes 10 = 90. Os outros 3 lançamentos poderiam ser no mínimo 1, somando 3, totalizando 93, que é menor que 108. Então, essa alternativa não é garantida.
Alternativa b) Diz que pelo menos 8 vezes saiu um número maior que 4. Se isso não fosse verdade, ou seja, se em 5 ou mais lançamentos o número fosse 4 ou menor, a soma máxima desses 5 lançamentos seria 5 vezes 4 = 20. Os outros 7 lançamentos poderiam ser no máximo 12, somando 84. Total máximo seria 20 + 84 = 104, que é menor que 108. Como a soma total é 108, essa situação não pode ocorrer, logo, pelo menos 8 vezes saiu um número maior que 4. Portanto, essa alternativa é verdadeira.
Alternativa c) Diz que pelo menos 3 vezes saiu o número 12. Não há como garantir isso apenas com a média 9, pois a média pode ser atingida com combinações variadas.
Alternativa d) Diz que pelo menos 3 vezes saiu o número 3. Também não é garantido.
Alternativa e) Diz que pelo menos 1 vez saiu um número menor que 6. Também não é garantido, pois a média pode ser 9 mesmo que todos os números sejam maiores ou iguais a 6.
Segunda resolução para confirmação:
Suponha que menos de 8 vezes saiu um número maior que 4, ou seja, no máximo 7 vezes. Então, pelo menos 5 vezes saiu um número menor ou igual a 4. O máximo que esses 5 lançamentos podem somar é 5 vezes 4 = 20. Os outros 7 lançamentos, sendo no máximo 12, somam no máximo 84. Total máximo 104, menor que 108. Isso contradiz a soma total, logo a hipótese é falsa.
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
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