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Analise a progressão geométrica a seguir composta de termos positivos. (...
Responda: Analise a progressão geométrica a seguir composta de termos positivos. (x + 1 ; 5x + 2; 48;...) O 4° termo dessa progressão é
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Por Ingrid Nunes em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
Temos uma progressão geométrica (PG) com os termos positivos: (x + 1; 5x + 2; 48; ...).
Sabemos que em uma PG, a razão r é constante e pode ser calculada pelo quociente entre termos consecutivos. Assim, r = (5x + 2) / (x + 1) = 48 / (5x + 2).
Igualando as duas expressões para r, temos: (5x + 2) / (x + 1) = 48 / (5x + 2).
Multiplicando cruzado: (5x + 2)^2 = 48(x + 1).
Expandindo: 25x^2 + 20x + 4 = 48x + 48.
Reorganizando: 25x^2 + 20x + 4 - 48x - 48 = 0 => 25x^2 - 28x - 44 = 0.
Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante: Δ = (-28)^2 - 4*25*(-44) = 784 + 4400 = 5184.
Raiz quadrada de 5184 é 72.
Assim, x = [28 ± 72] / (2*25).
Duas soluções: x1 = (28 + 72)/50 = 100/50 = 2; x2 = (28 - 72)/50 = -44/50 = -0,88.
Como os termos são positivos, x = 2.
Calculando os termos: primeiro termo = x + 1 = 3; segundo termo = 5x + 2 = 12; terceiro termo = 48.
Razão r = 12 / 3 = 4.
Quarto termo = terceiro termo * r = 48 * 4 = 192.
Portanto, o quarto termo é 192, alternativa c).
Checagem dupla confirma que a razão é constante e os termos são positivos, validando a resposta.
Temos uma progressão geométrica (PG) com os termos positivos: (x + 1; 5x + 2; 48; ...).
Sabemos que em uma PG, a razão r é constante e pode ser calculada pelo quociente entre termos consecutivos. Assim, r = (5x + 2) / (x + 1) = 48 / (5x + 2).
Igualando as duas expressões para r, temos: (5x + 2) / (x + 1) = 48 / (5x + 2).
Multiplicando cruzado: (5x + 2)^2 = 48(x + 1).
Expandindo: 25x^2 + 20x + 4 = 48x + 48.
Reorganizando: 25x^2 + 20x + 4 - 48x - 48 = 0 => 25x^2 - 28x - 44 = 0.
Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante: Δ = (-28)^2 - 4*25*(-44) = 784 + 4400 = 5184.
Raiz quadrada de 5184 é 72.
Assim, x = [28 ± 72] / (2*25).
Duas soluções: x1 = (28 + 72)/50 = 100/50 = 2; x2 = (28 - 72)/50 = -44/50 = -0,88.
Como os termos são positivos, x = 2.
Calculando os termos: primeiro termo = x + 1 = 3; segundo termo = 5x + 2 = 12; terceiro termo = 48.
Razão r = 12 / 3 = 4.
Quarto termo = terceiro termo * r = 48 * 4 = 192.
Portanto, o quarto termo é 192, alternativa c).
Checagem dupla confirma que a razão é constante e os termos são positivos, validando a resposta.
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