A reta y = ax + b é tangente ao gráfico da função f (x) = x2 + 3x + 1 no pon...

Gabarito: c)

Para que a reta y = ax + b seja tangente ao gráfico da função f(x) = x² + 3x + 1 no ponto de abscissa x = 1, ela deve satisfazer duas condições: passar pelo ponto (1, f(1)) e ter o mesmo coeficiente angular da função naquele ponto.

Primeiro, calculamos f(1): f(1) = 1² + 3*1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5. Portanto, a reta deve passar pelo ponto (1, 5).

A derivada de f(x) é f'(x) = 2x + 3. No ponto x = 1, f'(1) = 2*1 + 3 = 5. Isso significa que o coeficiente angular da reta tangente é a = 5.

Como a reta passa pelo ponto (1, 5), substituímos na equação y = ax + b: 5 = 5*1 + b, logo b = 0.

Por fim, calculamos 2a + b = 2*5 + 0 = 10.

Checagem dupla:
- A reta tangente tem coeficiente angular igual à derivada da função no ponto de tangência.
- A reta deve conter o ponto de tangência.
- Os cálculos confirmam que a = 5 e b = 0, resultando em 2a + b = 10.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.