Marcos de Castro
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: a)
Vamos analisar a segunda equação: x² + xy + y² = 3.
Primeiro, note que essa é uma equação quadrática em x e y, que pode representar uma cônica. Para identificar qual cônica é, podemos usar a matriz associada à forma quadrática.
A forma geral é: Ax² + 2Bxy + Cy² = k. Aqui, temos A = 1, B = 1/2 (pois xy = 2*B*xy, logo B = 1/2), e C = 1.
Para determinar o tipo da cônica, calculamos o discriminante Δ = B² - AC = (1/2)² - (1)(1) = 1/4 - 1 = -3/4 < 0.
Como Δ < 0, a cônica é uma elipse.
Agora, para verificar a orientação dos eixos, podemos diagonalizar a matriz da forma quadrática:
A matriz é [[1, 1/2], [1/2, 1]].
Calculando os autovalores e autovetores, encontramos que os eixos principais estão alinhados com as retas y = x e y = -x.
Portanto, a elipse tem seus eixos sobre as retas y = ±x, como afirmado.
Assim, a afirmação está correta.
Vamos analisar a segunda equação: x² + xy + y² = 3.
Primeiro, note que essa é uma equação quadrática em x e y, que pode representar uma cônica. Para identificar qual cônica é, podemos usar a matriz associada à forma quadrática.
A forma geral é: Ax² + 2Bxy + Cy² = k. Aqui, temos A = 1, B = 1/2 (pois xy = 2*B*xy, logo B = 1/2), e C = 1.
Para determinar o tipo da cônica, calculamos o discriminante Δ = B² - AC = (1/2)² - (1)(1) = 1/4 - 1 = -3/4 < 0.
Como Δ < 0, a cônica é uma elipse.
Agora, para verificar a orientação dos eixos, podemos diagonalizar a matriz da forma quadrática:
A matriz é [[1, 1/2], [1/2, 1]].
Calculando os autovalores e autovetores, encontramos que os eixos principais estão alinhados com as retas y = x e y = -x.
Portanto, a elipse tem seus eixos sobre as retas y = ±x, como afirmado.
Assim, a afirmação está correta.