Questões Matemática Álgebra Linear
Se V1e V2são subespaços vetoriais de R3, com V1={(x,y,...
Responda: Se V1e V2são subespaços vetoriais de R3, com V1={(x,y,z): 2x-3y+z=0} e V2={(x,y,z):x+4y+3z=0}, pode-se afirmar que se o vetor (a,b,c) ∈V1∩V
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Por Ingrid Nunes em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: d)
Primeiro, devemos entender que o vetor (a,b,c) pertence à interseção dos subespaços V1 e V2, ou seja, ele satisfaz simultaneamente as duas equações que definem esses subespaços.
V1 é definido por 2x - 3y + z = 0, então para (a,b,c) em V1, temos 2a - 3b + c = 0.
V2 é definido por x + 4y + 3z = 0, então para (a,b,c) em V2, temos a + 4b + 3c = 0.
Como (a,b,c) pertence à interseção V1 ∩ V2, ele deve satisfazer as duas equações simultaneamente.
Queremos encontrar uma relação que o vetor (a,b,c) satisfaça, que seja consequência das duas equações acima.
Podemos tentar combinar as duas equações para encontrar uma relação mais simples.
Multiplicando a primeira equação por 1 e a segunda por -2, temos:
1*(2a - 3b + c) = 0 => 2a - 3b + c = 0
-2*(a + 4b + 3c) = 0 => -2a - 8b - 6c = 0
Somando as duas:
(2a - 3b + c) + (-2a - 8b - 6c) = 0 + 0
(2a - 2a) + (-3b - 8b) + (c - 6c) = 0
0 - 11b - 5c = 0
Logo, 11b + 5c = 0, ou seja, 11b = -5c.
Substituindo b em uma das equações, por exemplo na segunda:
a + 4b + 3c = 0
Substituindo b = -5c/11:
a + 4*(-5c/11) + 3c = 0
a - 20c/11 + 3c = 0
a + (33c/11 - 20c/11) = 0
a + 13c/11 = 0
Multiplicando por 11:
11a + 13c = 0
Essa é uma relação que o vetor (a,b,c) deve satisfazer.
Observando as alternativas, a única que se aproxima dessa relação é a letra d) 3a + b + 4c = 0.
Para confirmar, podemos verificar se essa equação é uma combinação linear das duas originais, o que indica que é satisfeita por todos os vetores da interseção.
De fato, 3a + b + 4c = 0 pode ser obtida como combinação linear das equações originais, confirmando que a alternativa d) é correta.
Portanto, o vetor (a,b,c) que pertence à interseção V1 ∩ V2 satisfaz a equação 3a + b + 4c = 0.
Primeiro, devemos entender que o vetor (a,b,c) pertence à interseção dos subespaços V1 e V2, ou seja, ele satisfaz simultaneamente as duas equações que definem esses subespaços.
V1 é definido por 2x - 3y + z = 0, então para (a,b,c) em V1, temos 2a - 3b + c = 0.
V2 é definido por x + 4y + 3z = 0, então para (a,b,c) em V2, temos a + 4b + 3c = 0.
Como (a,b,c) pertence à interseção V1 ∩ V2, ele deve satisfazer as duas equações simultaneamente.
Queremos encontrar uma relação que o vetor (a,b,c) satisfaça, que seja consequência das duas equações acima.
Podemos tentar combinar as duas equações para encontrar uma relação mais simples.
Multiplicando a primeira equação por 1 e a segunda por -2, temos:
1*(2a - 3b + c) = 0 => 2a - 3b + c = 0
-2*(a + 4b + 3c) = 0 => -2a - 8b - 6c = 0
Somando as duas:
(2a - 3b + c) + (-2a - 8b - 6c) = 0 + 0
(2a - 2a) + (-3b - 8b) + (c - 6c) = 0
0 - 11b - 5c = 0
Logo, 11b + 5c = 0, ou seja, 11b = -5c.
Substituindo b em uma das equações, por exemplo na segunda:
a + 4b + 3c = 0
Substituindo b = -5c/11:
a + 4*(-5c/11) + 3c = 0
a - 20c/11 + 3c = 0
a + (33c/11 - 20c/11) = 0
a + 13c/11 = 0
Multiplicando por 11:
11a + 13c = 0
Essa é uma relação que o vetor (a,b,c) deve satisfazer.
Observando as alternativas, a única que se aproxima dessa relação é a letra d) 3a + b + 4c = 0.
Para confirmar, podemos verificar se essa equação é uma combinação linear das duas originais, o que indica que é satisfeita por todos os vetores da interseção.
De fato, 3a + b + 4c = 0 pode ser obtida como combinação linear das equações originais, confirmando que a alternativa d) é correta.
Portanto, o vetor (a,b,c) que pertence à interseção V1 ∩ V2 satisfaz a equação 3a + b + 4c = 0.
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