Questões Matemática Logarítimos
Na igualdade a seguir, estão relacionados o tempo t, necessário para garantir um mon...
Responda: Na igualdade a seguir, estão relacionados o tempo t, necessário para garantir um montante M, na aplicação de um capital C, à taxa de juros compostos i. logM – logC – log(1 ...
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Por Rodrigo Ferreira em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
A questão apresenta a fórmula logM – logC – log(1 + i)^t = 0, que pode ser reorganizada para encontrar o tempo t na aplicação de juros compostos.
Primeiro, note que log(1 + i)^t = t * log(1 + i), pela propriedade dos logaritmos. Assim, a equação fica: logM – logC – t * log(1 + i) = 0, ou seja, t = (logM – logC) / log(1 + i).
Os dados são: C = 2000, M = 3000, i = 20% ao ano (0,20).
Calculando logM e logC usando os valores aproximados fornecidos:
log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
Como 2000 = 2 * 1000 e 3000 = 3 * 1000, e o logaritmo de 1000 é 3 (log 10^3 = 3), temos:
log 2000 = log 2 + log 1000 = 0,30 + 3 = 3,30
log 3000 = log 3 + log 1000 = 0,48 + 3 = 3,48
Agora, log(1 + i) = log 1,20. Sabemos que 1,20 = 12/10, então log 1,20 = log 12 – log 10.
Podemos aproximar log 12 como log (3 * 4) = log 3 + log 4. Sabemos log 3 = 0,48 e log 4 = log (2^2) = 2 * log 2 = 2 * 0,30 = 0,60.
Logo, log 12 = 0,48 + 0,60 = 1,08.
Assim, log 1,20 = 1,08 – 1 = 0,08 (pois log 10 = 1).
Finalmente, t = (3,48 – 3,30) / 0,08 = 0,18 / 0,08 = 2,25 anos.
Convertendo para meses: 2,25 anos * 12 meses/ano = 27 meses.
Portanto, o tempo necessário para que o capital de R$ 2.000,00 se transforme em R$ 3.000,00 a 20% ao ano de juros compostos é de 27 meses.
Checagem dupla:
Outra forma é usar a fórmula do montante em juros compostos: M = C * (1 + i)^t.
Dividindo ambos os lados por C: M / C = (1 + i)^t.
Então, 3000 / 2000 = 1,5 = (1,20)^t.
Tomando logaritmo: log 1,5 = t * log 1,20.
Sabemos que log 1,5 = log (3/2) = log 3 – log 2 = 0,48 – 0,30 = 0,18.
Já calculamos log 1,20 = 0,08.
Assim, t = 0,18 / 0,08 = 2,25 anos, que é 27 meses, confirmando o resultado anterior.
Portanto, a alternativa correta é a letra c).
A questão apresenta a fórmula logM – logC – log(1 + i)^t = 0, que pode ser reorganizada para encontrar o tempo t na aplicação de juros compostos.
Primeiro, note que log(1 + i)^t = t * log(1 + i), pela propriedade dos logaritmos. Assim, a equação fica: logM – logC – t * log(1 + i) = 0, ou seja, t = (logM – logC) / log(1 + i).
Os dados são: C = 2000, M = 3000, i = 20% ao ano (0,20).
Calculando logM e logC usando os valores aproximados fornecidos:
log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
Como 2000 = 2 * 1000 e 3000 = 3 * 1000, e o logaritmo de 1000 é 3 (log 10^3 = 3), temos:
log 2000 = log 2 + log 1000 = 0,30 + 3 = 3,30
log 3000 = log 3 + log 1000 = 0,48 + 3 = 3,48
Agora, log(1 + i) = log 1,20. Sabemos que 1,20 = 12/10, então log 1,20 = log 12 – log 10.
Podemos aproximar log 12 como log (3 * 4) = log 3 + log 4. Sabemos log 3 = 0,48 e log 4 = log (2^2) = 2 * log 2 = 2 * 0,30 = 0,60.
Logo, log 12 = 0,48 + 0,60 = 1,08.
Assim, log 1,20 = 1,08 – 1 = 0,08 (pois log 10 = 1).
Finalmente, t = (3,48 – 3,30) / 0,08 = 0,18 / 0,08 = 2,25 anos.
Convertendo para meses: 2,25 anos * 12 meses/ano = 27 meses.
Portanto, o tempo necessário para que o capital de R$ 2.000,00 se transforme em R$ 3.000,00 a 20% ao ano de juros compostos é de 27 meses.
Checagem dupla:
Outra forma é usar a fórmula do montante em juros compostos: M = C * (1 + i)^t.
Dividindo ambos os lados por C: M / C = (1 + i)^t.
Então, 3000 / 2000 = 1,5 = (1,20)^t.
Tomando logaritmo: log 1,5 = t * log 1,20.
Sabemos que log 1,5 = log (3/2) = log 3 – log 2 = 0,48 – 0,30 = 0,18.
Já calculamos log 1,20 = 0,08.
Assim, t = 0,18 / 0,08 = 2,25 anos, que é 27 meses, confirmando o resultado anterior.
Portanto, a alternativa correta é a letra c).
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