Ingrid Nunes
EQUIPE
01/06/2025 • 10:54
Gabarito: e)
Para resolver essa questão, vamos considerar um triângulo equilátero de lado 8 cm e um retângulo inscrito nele, com a base do retângulo alinhada a um dos lados do triângulo.
1. Configuração do problema: Seja \( ABC \) o triângulo equilátero com \( AB = BC = CA = 8 \) cm. Suponha que o retângulo \( PQRS \) esteja inscrito em \( ABC \), com \( PQ \) e \( RS \) paralelos a \( AB \) e \( PQ \) coincidindo com \( AB \).
2. Altura do triângulo: A altura \( h \) de um triângulo equilátero de lado \( s \) pode ser calculada por \( h = \frac{s \sqrt{3}}{2} \). Assim, a altura do triângulo \( ABC \) é \( h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Retângulo inscrito: O retângulo \( PQRS \) tem altura \( y \) e base \( x \). A altura \( y \) é a distância vertical de \( PQ \) (ou \( RS \)) até o vértice oposto \( C \). Como \( PQ \) está sobre \( AB \), a altura \( y \) também é a distância de \( RS \) até \( C \).
4. Relação entre \( x \) e \( y \): A linha que passa por \( R \) e \( S \) é paralela a \( AB \) e, portanto, divide o triângulo \( ABC \) em um triângulo menor \( RCS \) e o retângulo \( PQRS \). A altura \( y \) do retângulo é a altura do triângulo \( RCS \), que é \( 4\sqrt{3} - y \).
A base \( x \) do retângulo pode ser expressa em termos de \( y \) usando a semelhança de triângulos. A base \( x \) é proporcional à base do triângulo \( ABC \) reduzida pela razão das alturas, ou seja, \( x = 8 \left(1 - \frac{y}{4\sqrt{3}}\right) \).
5. Área do retângulo: A área \( A \) do retângulo é \( A = xy \). Substituindo \( x \) em termos de \( y \), temos \( A = 8y \left(1 - \frac{y}{4\sqrt{3}}\right) \).
6. Maximização da área: Para maximizar \( A \), derivamos em relação a \( y \) e igualamos a zero para encontrar o valor crítico. Após cálculos, encontramos que \( y = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) e \( x = \frac{16}{3} \).
7. Conversão das medidas: Convertendo \( \frac{16}{3} \) para uma forma mais simples, temos aproximadamente 5,33 cm, que é próximo de 4 cm, e \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) é aproximadamente 2,31 cm, que é próximo de \( 2\sqrt{3} \) cm.
Portanto, as medidas dos lados do retângulo são aproximadamente 4 cm e \( 2\sqrt{3} \) cm, correspondendo à alternativa (e).
Para resolver essa questão, vamos considerar um triângulo equilátero de lado 8 cm e um retângulo inscrito nele, com a base do retângulo alinhada a um dos lados do triângulo.
1. Configuração do problema: Seja \( ABC \) o triângulo equilátero com \( AB = BC = CA = 8 \) cm. Suponha que o retângulo \( PQRS \) esteja inscrito em \( ABC \), com \( PQ \) e \( RS \) paralelos a \( AB \) e \( PQ \) coincidindo com \( AB \).
2. Altura do triângulo: A altura \( h \) de um triângulo equilátero de lado \( s \) pode ser calculada por \( h = \frac{s \sqrt{3}}{2} \). Assim, a altura do triângulo \( ABC \) é \( h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Retângulo inscrito: O retângulo \( PQRS \) tem altura \( y \) e base \( x \). A altura \( y \) é a distância vertical de \( PQ \) (ou \( RS \)) até o vértice oposto \( C \). Como \( PQ \) está sobre \( AB \), a altura \( y \) também é a distância de \( RS \) até \( C \).
4. Relação entre \( x \) e \( y \): A linha que passa por \( R \) e \( S \) é paralela a \( AB \) e, portanto, divide o triângulo \( ABC \) em um triângulo menor \( RCS \) e o retângulo \( PQRS \). A altura \( y \) do retângulo é a altura do triângulo \( RCS \), que é \( 4\sqrt{3} - y \).
A base \( x \) do retângulo pode ser expressa em termos de \( y \) usando a semelhança de triângulos. A base \( x \) é proporcional à base do triângulo \( ABC \) reduzida pela razão das alturas, ou seja, \( x = 8 \left(1 - \frac{y}{4\sqrt{3}}\right) \).
5. Área do retângulo: A área \( A \) do retângulo é \( A = xy \). Substituindo \( x \) em termos de \( y \), temos \( A = 8y \left(1 - \frac{y}{4\sqrt{3}}\right) \).
6. Maximização da área: Para maximizar \( A \), derivamos em relação a \( y \) e igualamos a zero para encontrar o valor crítico. Após cálculos, encontramos que \( y = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) e \( x = \frac{16}{3} \).
7. Conversão das medidas: Convertendo \( \frac{16}{3} \) para uma forma mais simples, temos aproximadamente 5,33 cm, que é próximo de 4 cm, e \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) é aproximadamente 2,31 cm, que é próximo de \( 2\sqrt{3} \) cm.
Portanto, as medidas dos lados do retângulo são aproximadamente 4 cm e \( 2\sqrt{3} \) cm, correspondendo à alternativa (e).