David Castilho
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: b)
Vamos entender o problema passo a passo.
Temos que N é o menor número inteiro positivo tal que 7 × N seja um número formado só por algarismos 2. Por exemplo, um número como 2222...222 (todos os dígitos 2).
Então, 7 × N = número com todos os dígitos iguais a 2.
Vamos chamar esse número de M, ou seja, M = 222...222 (k dígitos 2).
Sabemos que M pode ser escrito como:
M = 2 × 111...111 (k dígitos 1)
E o número 111...111 (k dígitos 1) é conhecido como o número repunit, que pode ser escrito como (10^k - 1)/9.
Então:
M = 2 × (10^k - 1)/9
Como 7 × N = M, temos:
7 × N = 2 × (10^k - 1)/9
Logo:
N = [2 × (10^k - 1)] / (9 × 7) = [2 × (10^k - 1)] / 63
Para N ser inteiro, o denominador 63 deve dividir o numerador 2 × (10^k - 1).
Como 2 e 63 são coprimos (não têm fatores em comum), então 63 deve dividir (10^k - 1).
Ou seja:
10^k ≡ 1 mod 63
Agora, vamos encontrar o menor k para que 10^k ≡ 1 mod 63.
Como 63 = 7 × 9, podemos usar o Teorema Chinês do Resto.
Precisamos que:
10^k ≡ 1 mod 7
10^k ≡ 1 mod 9
Vamos analisar cada módulo:
1) mod 7:
10 mod 7 = 3
Queremos k tal que 3^k ≡ 1 mod 7
Os poderes de 3 mod 7 são:
3^1 = 3 mod 7
3^2 = 9 = 2 mod 7
3^3 = 3^2 × 3 = 2 × 3 = 6 mod 7
3^4 = 6 × 3 = 18 = 4 mod 7
3^5 = 4 × 3 = 12 = 5 mod 7
3^6 = 5 × 3 = 15 = 1 mod 7
Então, o menor k para 3^k ≡ 1 mod 7 é k=6.
2) mod 9:
10 mod 9 = 1
Então 10^k mod 9 = 1^k = 1 para qualquer k.
Portanto, o menor k que satisfaz as duas condições é o mínimo múltiplo comum entre 6 e 1, que é 6.
Então, k=6.
Agora, podemos calcular N:
N = [2 × (10^6 - 1)] / 63
10^6 - 1 = 999999
Então:
N = 2 × 999999 / 63 = 1,999,998 / 63
Vamos dividir:
63 × 31,746 = 1,999,998
Então N = 31,746
Agora, vamos analisar as alternativas:
a) N < 30.000? Não, pois N = 31.746 > 30.000
b) N é múltiplo de 11?
Vamos verificar se 31.746 é múltiplo de 11.
Regra do 11: a soma dos algarismos nas posições ímpares menos a soma dos algarismos nas posições pares deve ser múltiplo de 11.
Número: 3 1 7 4 6
Posições (da direita para esquerda):
6 (posição 1, ímpar)
4 (posição 2, par)
7 (posição 3, ímpar)
1 (posição 4, par)
3 (posição 5, ímpar)
Soma ímpares: 6 + 7 + 3 = 16
Soma pares: 4 + 1 = 5
Diferença: 16 - 5 = 11, que é múltiplo de 11.
Então, N é múltiplo de 11.
c) Produto dos algarismos é 514?
Algarismos: 3,1,7,4,6
Produto: 3 × 1 × 7 × 4 × 6 = 3 × 1 = 3; 3 × 7 = 21; 21 × 4 = 84; 84 × 6 = 504
Não é 514.
d) Soma dos algarismos é 20?
Soma: 3 + 1 + 7 + 4 + 6 = 21
Não é 20.
e) N > 40.000?
N = 31.746, não é maior que 40.000.
Portanto, a única alternativa correta é a b).
Espero que tenha ficado claro!
Vamos entender o problema passo a passo.
Temos que N é o menor número inteiro positivo tal que 7 × N seja um número formado só por algarismos 2. Por exemplo, um número como 2222...222 (todos os dígitos 2).
Então, 7 × N = número com todos os dígitos iguais a 2.
Vamos chamar esse número de M, ou seja, M = 222...222 (k dígitos 2).
Sabemos que M pode ser escrito como:
M = 2 × 111...111 (k dígitos 1)
E o número 111...111 (k dígitos 1) é conhecido como o número repunit, que pode ser escrito como (10^k - 1)/9.
Então:
M = 2 × (10^k - 1)/9
Como 7 × N = M, temos:
7 × N = 2 × (10^k - 1)/9
Logo:
N = [2 × (10^k - 1)] / (9 × 7) = [2 × (10^k - 1)] / 63
Para N ser inteiro, o denominador 63 deve dividir o numerador 2 × (10^k - 1).
Como 2 e 63 são coprimos (não têm fatores em comum), então 63 deve dividir (10^k - 1).
Ou seja:
10^k ≡ 1 mod 63
Agora, vamos encontrar o menor k para que 10^k ≡ 1 mod 63.
Como 63 = 7 × 9, podemos usar o Teorema Chinês do Resto.
Precisamos que:
10^k ≡ 1 mod 7
10^k ≡ 1 mod 9
Vamos analisar cada módulo:
1) mod 7:
10 mod 7 = 3
Queremos k tal que 3^k ≡ 1 mod 7
Os poderes de 3 mod 7 são:
3^1 = 3 mod 7
3^2 = 9 = 2 mod 7
3^3 = 3^2 × 3 = 2 × 3 = 6 mod 7
3^4 = 6 × 3 = 18 = 4 mod 7
3^5 = 4 × 3 = 12 = 5 mod 7
3^6 = 5 × 3 = 15 = 1 mod 7
Então, o menor k para 3^k ≡ 1 mod 7 é k=6.
2) mod 9:
10 mod 9 = 1
Então 10^k mod 9 = 1^k = 1 para qualquer k.
Portanto, o menor k que satisfaz as duas condições é o mínimo múltiplo comum entre 6 e 1, que é 6.
Então, k=6.
Agora, podemos calcular N:
N = [2 × (10^6 - 1)] / 63
10^6 - 1 = 999999
Então:
N = 2 × 999999 / 63 = 1,999,998 / 63
Vamos dividir:
63 × 31,746 = 1,999,998
Então N = 31,746
Agora, vamos analisar as alternativas:
a) N < 30.000? Não, pois N = 31.746 > 30.000
b) N é múltiplo de 11?
Vamos verificar se 31.746 é múltiplo de 11.
Regra do 11: a soma dos algarismos nas posições ímpares menos a soma dos algarismos nas posições pares deve ser múltiplo de 11.
Número: 3 1 7 4 6
Posições (da direita para esquerda):
6 (posição 1, ímpar)
4 (posição 2, par)
7 (posição 3, ímpar)
1 (posição 4, par)
3 (posição 5, ímpar)
Soma ímpares: 6 + 7 + 3 = 16
Soma pares: 4 + 1 = 5
Diferença: 16 - 5 = 11, que é múltiplo de 11.
Então, N é múltiplo de 11.
c) Produto dos algarismos é 514?
Algarismos: 3,1,7,4,6
Produto: 3 × 1 × 7 × 4 × 6 = 3 × 1 = 3; 3 × 7 = 21; 21 × 4 = 84; 84 × 6 = 504
Não é 514.
d) Soma dos algarismos é 20?
Soma: 3 + 1 + 7 + 4 + 6 = 21
Não é 20.
e) N > 40.000?
N = 31.746, não é maior que 40.000.
Portanto, a única alternativa correta é a b).
Espero que tenha ficado claro!