Para quais valores a função F(x) = – x2 + 4x é positiva.

Gabarito: a)

Vamos analisar a função F(x) = –x² + 4x.

Primeiro, podemos reescrever como F(x) = –(x² – 4x) = –(x(x – 4)).

Para saber onde F(x) é positiva, queremos encontrar os valores de x para os quais F(x) > 0.

Ou seja:

–x² + 4x > 0

Multiplicando ambos os lados por –1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):

x² – 4x < 0

Agora, fatoramos:

x(x – 4) < 0

Essa desigualdade é verdadeira quando um dos fatores é positivo e o outro é negativo.

Analisando:

- Para x < 0: x é negativo, x – 4 é negativo (pois x – 4 < 0), produto positivo (negativo × negativo = positivo), então não satisfaz a desigualdade.

- Para 0 < x < 4: x é positivo, x – 4 é negativo, produto negativo, satisfaz a desigualdade.

- Para x > 4: x é positivo, x – 4 é positivo, produto positivo, não satisfaz.

Portanto, F(x) > 0 para 0 < x < 4.

Logo, a alternativa correta é a) para 0 < x < 4.