Três caixas eletrônicos, X, Y e Z, atendem a uma demanda de 50%, 30% e 20%...

Gabarito: a)

Primeiro, vamos organizar as informações iniciais. As caixas X, Y e Z atendem respectivamente 50%, 30% e 20% das operações. As taxas de defeito antes da revisão eram 5% para X, 3% para Y e 2% para Z.

Após a revisão, temos três condições:
I - a ocorrência de defeito foi reduzida em 25% para todas as caixas.
II - as proporções de defeito em Y e Z foram igualadas.
III - a proporção de defeito em X ficou metade da nova proporção de defeito em Y.

Vamos calcular passo a passo.

Antes da revisão, as taxas de defeito eram:
X: 5% = 0,05
Y: 3% = 0,03
Z: 2% = 0,02

Reduzindo em 25%, as novas taxas seriam 75% das originais:
X: 0,05 * 0,75 = 0,0375
Y: 0,03 * 0,75 = 0,0225
Z: 0,02 * 0,75 = 0,015

Mas a condição II diz que as proporções de defeito em Y e Z são iguais após a revisão, e a condição III que a proporção de defeito em X é metade da de Y.

Sejam as novas taxas:
Y = Z = p
X = p / 2

Sabemos que a redução foi de 25% em relação às taxas originais, mas as condições II e III impõem relações diferentes. Então, devemos ajustar p para que as condições sejam satisfeitas e a redução total seja de 25%.

Vamos verificar as taxas originais para cada caixa:
X original: 0,05
Y original: 0,03
Z original: 0,02

Após revisão:
X = p / 2
Y = p
Z = p

A redução para cada caixa é:
Redução X = 1 - (p/2)/0,05
Redução Y = 1 - p/0,03
Redução Z = 1 - p/0,02

Sabemos que a redução geral é de 25%, mas as condições dizem que a redução em cada caixa pode variar, desde que a redução total seja 25% e as condições II e III sejam satisfeitas.

Porém, a questão afirma que a redução de 25% é geral, ou seja, para todas as caixas. Isso gera conflito com as condições II e III, então interpretamos que a redução de 25% é na média ponderada.

Vamos calcular a probabilidade total de defeito antes da revisão:
P(defeito) = 0,5*0,05 + 0,3*0,03 + 0,2*0,02 = 0,025 + 0,009 + 0,004 = 0,038

Após revisão, as taxas são:
X = p/2
Y = p
Z = p

A probabilidade total de defeito após revisão é:
P'(defeito) = 0,5*(p/2) + 0,3*p + 0,2*p = 0,25p + 0,3p + 0,2p = 0,75p

Sabemos que a redução total foi de 25%, então:
P'(defeito) = 0,75 * P(defeito) = 0,75 * 0,038 = 0,0285

Logo:
0,75p = 0,0285 => p = 0,0285 / 0,75 = 0,038

Portanto:
Y = Z = 0,038
X = 0,019

Agora, queremos a probabilidade de que, dado que houve um defeito, ele tenha ocorrido no caixa Y.

Usando a fórmula de probabilidade condicional:
P(Y | defeito) = P(defeito em Y) / P(defeito total) = (0,3 * 0,038) / 0,0285 = 0,0114 / 0,0285 ≈ 0,4 ou 40%

Assim, a resposta correta é a alternativa a) 40%.