Questões Matemática Seno Cosseno e Tangente
O retângulo ABCD tem dimensões AB = 2 e BC = 4. Os pontos M e N são médios dos lados BC...
Responda: O retângulo ABCD tem dimensões AB = 2 e BC = 4. Os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente. O cosseno do ângulo AMN é igual a
💬 Comentários
Confira os comentários sobre esta questão.
Por Equipe Gabarite em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: e)
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos importantes no retângulo ABCD. Suponha que A seja a origem (0,0), B (2,0), C (2,4) e D (0,4). Os pontos M e N, sendo médios dos lados BC e CD respectivamente, têm coordenadas M (2,2) e N (1,4).
Para encontrar o cosseno do ângulo AMN, precisamos primeiro determinar os vetores AM e MN. O vetor AM pode ser calculado como M - A = (2 - 0, 2 - 0) = (2, 2). O vetor MN é N - M = (1 - 2, 4 - 2) = (-1, 2).
O produto escalar de dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) é dado por a*c + b*d. Portanto, o produto escalar de AM e MN é 2*(-1) + 2*2 = 2.
A magnitude de um vetor (x, y) é dada por sqrt(x^2 + y^2). Assim, as magnitudes de AM e MN são sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8) = 2sqrt(2) e sqrt((-1)^2 + 2^2) = sqrt(5), respectivamente.
O cosseno do ângulo entre dois vetores é o produto escalar dos vetores dividido pelo produto das magnitudes dos vetores. Portanto, cos(AMN) = 2 / (2sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / sqrt(10).
Como o vetor MN aponta para uma direção oposta ao movimento de A para M no plano cartesiano, o ângulo é obtuso, e o cosseno deve ser negativo. Portanto, o cosseno do ângulo AMN é -1/sqrt(10), que corresponde à alternativa e).
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos importantes no retângulo ABCD. Suponha que A seja a origem (0,0), B (2,0), C (2,4) e D (0,4). Os pontos M e N, sendo médios dos lados BC e CD respectivamente, têm coordenadas M (2,2) e N (1,4).
Para encontrar o cosseno do ângulo AMN, precisamos primeiro determinar os vetores AM e MN. O vetor AM pode ser calculado como M - A = (2 - 0, 2 - 0) = (2, 2). O vetor MN é N - M = (1 - 2, 4 - 2) = (-1, 2).
O produto escalar de dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) é dado por a*c + b*d. Portanto, o produto escalar de AM e MN é 2*(-1) + 2*2 = 2.
A magnitude de um vetor (x, y) é dada por sqrt(x^2 + y^2). Assim, as magnitudes de AM e MN são sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8) = 2sqrt(2) e sqrt((-1)^2 + 2^2) = sqrt(5), respectivamente.
O cosseno do ângulo entre dois vetores é o produto escalar dos vetores dividido pelo produto das magnitudes dos vetores. Portanto, cos(AMN) = 2 / (2sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / sqrt(10).
Como o vetor MN aponta para uma direção oposta ao movimento de A para M no plano cartesiano, o ângulo é obtuso, e o cosseno deve ser negativo. Portanto, o cosseno do ângulo AMN é -1/sqrt(10), que corresponde à alternativa e).
⚠️ Clique para ver os comentários
Visualize os comentários desta questão clicando no botão abaixo
Ver comentários