Questões Matemática Seno Cosseno e Tangente
É dada a equação 2x – 4 = 4 . sen(2x), com x ∈ [-3, 3] . Quantas soluç...
Responda: É dada a equação 2x – 4 = 4 . sen(2x), com x ∈ [-3, 3] . Quantas soluções reais essa equação possui?
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Por Equipe Gabarite em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: a)
Para resolver essa questão, precisamos analisar a equação dada: 2^x - 4 = 4 * sen(2x). Vamos considerar o comportamento das funções de cada lado da igualdade no intervalo dado, x ∈ [-3, 3].
A função exponencial 2^x é sempre crescente, e como o intervalo inclui valores negativos e positivos de x, 2^x varia de 2^-3 (que é 1/8) até 2^3 (que é 8). Subtraindo 4 de cada termo, a função 2^x - 4 varia de -3.875 até 4.
Por outro lado, a função seno, sen(2x), oscila entre -1 e 1. Portanto, 4 * sen(2x) oscila entre -4 e 4. Isso significa que o valor máximo de 4 * sen(2x) é 4 e o mínimo é -4, cobrindo todo o intervalo de variação de 2^x - 4 no intervalo dado.
A função seno tem um período de π, então sen(2x) tem um período de π/2. Isso significa que dentro do intervalo de x de -3 a 3, a função sen(2x) completa várias oscilações. Devido à natureza periódica de sen(2x) e ao fato de que 2^x - 4 é uma função contínua e monotônica no intervalo, cada oscilação do seno pode cruzar a curva de 2^x - 4 uma ou mais vezes.
Ao analisar graficamente ou usando métodos numéricos, observa-se que há três cruzamentos, ou seja, três soluções para a equação no intervalo dado. Portanto, a resposta correta é 3 soluções.
Para resolver essa questão, precisamos analisar a equação dada: 2^x - 4 = 4 * sen(2x). Vamos considerar o comportamento das funções de cada lado da igualdade no intervalo dado, x ∈ [-3, 3].
A função exponencial 2^x é sempre crescente, e como o intervalo inclui valores negativos e positivos de x, 2^x varia de 2^-3 (que é 1/8) até 2^3 (que é 8). Subtraindo 4 de cada termo, a função 2^x - 4 varia de -3.875 até 4.
Por outro lado, a função seno, sen(2x), oscila entre -1 e 1. Portanto, 4 * sen(2x) oscila entre -4 e 4. Isso significa que o valor máximo de 4 * sen(2x) é 4 e o mínimo é -4, cobrindo todo o intervalo de variação de 2^x - 4 no intervalo dado.
A função seno tem um período de π, então sen(2x) tem um período de π/2. Isso significa que dentro do intervalo de x de -3 a 3, a função sen(2x) completa várias oscilações. Devido à natureza periódica de sen(2x) e ao fato de que 2^x - 4 é uma função contínua e monotônica no intervalo, cada oscilação do seno pode cruzar a curva de 2^x - 4 uma ou mais vezes.
Ao analisar graficamente ou usando métodos numéricos, observa-se que há três cruzamentos, ou seja, três soluções para a equação no intervalo dado. Portanto, a resposta correta é 3 soluções.
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