Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$2.000.000,00, no regime de...

Vamos lá,

O enunciado informou que quer achar o tempo (n), a taxa de juros, que é 1,1% ao mês (a.m.), o Capital, que é de R$ 2.000.000,00, e os Juros que quer que seja rendido, que é de R$ 500.000,00. Com isso, para economizar tempo, já tiramos que o Montante é de 2.500.000,00 ( M = C + J ), Beleza?

Seguindo...

Aplicando a fórmula de capitalização composta ( = juros compostos), teremos:

M = C . (1 + i ) ^n ;

Substituindo pelos dados que já tempos, fica...

2.500.000,00 = 2.000.000,00 . ( 1 + 0,011 ) ^n [ onde, 1,1/100 = 0,011 ], beleza?

Efetuando a conta...Simplificando os Zeros, evidenciando/isolando os termos, teremos:
25/20 = (1,011)^n

1,25 = (1,011)^n [ Aqui, aplica-se Logaritmo, para que se tire o "n" do expoente ]
* É simples, para quem não sabe o não lembra: *
Sempre que temos uma equação com expoentes, aplica-se o logaritmo para nos "livrarmos" do expoente. Por exemplo: 2^x = 8... Aplicando o logaritmo, ficamos com: log (2^x) = log (8). O "X" é o expoente, assim...

...continuando....

X como expoente, ao aplicar o logaritmo, podemos "descer" o x do expoente para uma incógnita multiplicativa.... LITERALMENTE DESCER O X. Logo, temos:

log (2^x) = log (8) ==> X.log (2) = log (8)....[ assim, você retira o "x" do expoente e facilita a sua conta ]
[como eu usei dois exemplos de log, eu vou usar a calculadora para substituir os valores dos logs.
Assim: log 2 = 0,30 e log 8 = 0,90; Substituindo na equação do exemplo, temos: X.log (2) = log (8) ==> X.0,30 = 0,90; Agora só efetuar a conta normalmente.... ==> X = 0,90/0,30 ==> X = 3.

Explicado o método dos logaritmos, esse mesmo raciocínio será aplicado no exercícios...

Voltando à conta da questão:

1,25 = (1,011)^n [APLICANDO LOGARITMO]
log 1,25 = log (1,011)^n [Lembre-se... DESCE o "X", que, no caso, é "n"]
log 1,25 = n . log 1,011 [E agora? Fudeu? Não, kkkkk, só para descontrair]

O enunciado também te deu os valores de log 1,25 e log 1,011, que são, respectivamente, 0,22 e 0,011. Então..........

....SUBSTITUA...

Log 1,25 = 0,22
Log 1,011 = 0,011
Assim,

log 1,25 = n . log 1,011
0,22 = n. 0,011 [efetue normalmente, após as devidas substituições]
0,22/0,011 = n
Chegando, assim, a n = 20. Logo, gabarito E) 20 mêses

Gente, espero ter ajudado. Grande abraço

Resumindo para quem sabe sobre logaritmo...

1º) M = C + J ==> M = 2.000.000,00 + 500.000,00 ==> M = 2.500,000,00

2º) M = C . (1 + i)^n ==> M/C = (1 + i)^n ==> 2.500.000/2.000.000 = (1+ 0,011)^n ==> 25/20 = (1,011)^n ==> 1,25 = (1,011)^n
==> [aplicando log OBS.: log na base 10 é a mesma coisa que ln(logaritmo neperiano)] ==> log 1,25 = log (1,011)^n
==> log 1,25 = n . log 1,011 ==> [Substituindo pelo que foi dado pelo enunciado log 1,25 = 0,22 e log 1,011 = 0,011]
==> 0,22 = n . 0,011 ==> n = 0,22/0,011 ==> n = 20 meses [Gabarito E]