Comprei 80 m de corda para demarcar uma área de lazer retangular para meus alunos. A ma...
Responda: Comprei 80 m de corda para demarcar uma área de lazer retangular para meus alunos. A maior área possível a ser demarcada com essa tela será de
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Por Equipe Gabarite em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: c)
Para resolver essa questão, devemos lembrar que a área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado. Isso é um resultado clássico da geometria, pois para um dado perímetro, o quadrado tem a maior área possível.
O perímetro é dado pela soma dos quatro lados do retângulo. Como a corda tem 80 metros, o perímetro P = 80 m.
Se chamarmos os lados do retângulo de x e y, temos: 2x + 2y = 80, ou seja, x + y = 40.
A área A = x * y. Para maximizar A, dado que x + y = 40, usamos o fato de que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, ou podemos derivar a função A = x(40 - x) = 40x - x² e encontrar o máximo.
Derivando A em relação a x: dA/dx = 40 - 2x. Igualando a zero para máximo: 40 - 2x = 0, logo x = 20.
Assim, y = 40 - x = 20. O retângulo é um quadrado de lado 20 m.
A área máxima será 20 * 20 = 400 m².
Portanto, a alternativa correta é a letra c) 400 m².
Checagem dupla:
- Perímetro: 4 * 20 = 80 m, correto.
- Área: 20 * 20 = 400 m², que é a maior possível para esse perímetro.
Assim, confirmamos que o gabarito oficial está correto.
Para resolver essa questão, devemos lembrar que a área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado. Isso é um resultado clássico da geometria, pois para um dado perímetro, o quadrado tem a maior área possível.
O perímetro é dado pela soma dos quatro lados do retângulo. Como a corda tem 80 metros, o perímetro P = 80 m.
Se chamarmos os lados do retângulo de x e y, temos: 2x + 2y = 80, ou seja, x + y = 40.
A área A = x * y. Para maximizar A, dado que x + y = 40, usamos o fato de que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, ou podemos derivar a função A = x(40 - x) = 40x - x² e encontrar o máximo.
Derivando A em relação a x: dA/dx = 40 - 2x. Igualando a zero para máximo: 40 - 2x = 0, logo x = 20.
Assim, y = 40 - x = 20. O retângulo é um quadrado de lado 20 m.
A área máxima será 20 * 20 = 400 m².
Portanto, a alternativa correta é a letra c) 400 m².
Checagem dupla:
- Perímetro: 4 * 20 = 80 m, correto.
- Área: 20 * 20 = 400 m², que é a maior possível para esse perímetro.
Assim, confirmamos que o gabarito oficial está correto.
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