O quadrado ABCD tem lado de 2 unidades. Uma circunferência passa pelos pontos A e B ...
Responda: O quadrado ABCD tem lado de 2 unidades. Uma circunferência passa pelos pontos A e B e é tangente ao lado CD.O raio dessa circunferência mede
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Por Equipe Gabarite em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: d)
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos um quadrado ABCD com lado de 2 unidades. Isso significa que todos os lados medem 2.
A circunferência passa pelos pontos A e B, que são dois vértices adjacentes do quadrado, e é tangente ao lado CD, que é o lado oposto a AB.
Para facilitar, podemos posicionar o quadrado em um sistema cartesiano. Suponha que o ponto A esteja na origem (0,0), B em (2,0), C em (2,2) e D em (0,2).
A circunferência passa por A(0,0) e B(2,0) e é tangente à reta CD, que está na linha y=2.
Se chamarmos o centro da circunferência de O(x,y) e o raio de r, temos que O está equidistante de A e B, pois ambos estão na circunferência.
Como A e B têm a mesma coordenada y=0, o centro O deve estar sobre a linha x=1, que é o ponto médio de AB, para que as distâncias OA e OB sejam iguais.
Assim, O = (1, y).
O raio r é a distância de O a A, que é sqrt((1-0)^2 + (y-0)^2) = sqrt(1 + y^2).
A circunferência é tangente à reta y=2, então a distância do centro O à reta y=2 é igual ao raio r.
A distância do ponto (1,y) à reta y=2 é |2 - y|.
Portanto, r = |2 - y|.
Temos duas expressões para r: r = sqrt(1 + y^2) e r = 2 - y (considerando y < 2 para que a distância seja positiva).
Igualando: sqrt(1 + y^2) = 2 - y.
Elevando ao quadrado: 1 + y^2 = (2 - y)^2 = 4 - 4y + y^2.
Cancelando y^2 dos dois lados: 1 = 4 - 4y.
Isolando y: 4y = 4 - 1 = 3, então y = 3/4 = 0,75.
Substituindo y na expressão do raio: r = sqrt(1 + (3/4)^2) = sqrt(1 + 9/16) = sqrt(25/16) = 5/4 = 1,25.
Portanto, o raio da circunferência é 5/4.
Checagem dupla confirma que a alternativa correta é a letra d).
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos um quadrado ABCD com lado de 2 unidades. Isso significa que todos os lados medem 2.
A circunferência passa pelos pontos A e B, que são dois vértices adjacentes do quadrado, e é tangente ao lado CD, que é o lado oposto a AB.
Para facilitar, podemos posicionar o quadrado em um sistema cartesiano. Suponha que o ponto A esteja na origem (0,0), B em (2,0), C em (2,2) e D em (0,2).
A circunferência passa por A(0,0) e B(2,0) e é tangente à reta CD, que está na linha y=2.
Se chamarmos o centro da circunferência de O(x,y) e o raio de r, temos que O está equidistante de A e B, pois ambos estão na circunferência.
Como A e B têm a mesma coordenada y=0, o centro O deve estar sobre a linha x=1, que é o ponto médio de AB, para que as distâncias OA e OB sejam iguais.
Assim, O = (1, y).
O raio r é a distância de O a A, que é sqrt((1-0)^2 + (y-0)^2) = sqrt(1 + y^2).
A circunferência é tangente à reta y=2, então a distância do centro O à reta y=2 é igual ao raio r.
A distância do ponto (1,y) à reta y=2 é |2 - y|.
Portanto, r = |2 - y|.
Temos duas expressões para r: r = sqrt(1 + y^2) e r = 2 - y (considerando y < 2 para que a distância seja positiva).
Igualando: sqrt(1 + y^2) = 2 - y.
Elevando ao quadrado: 1 + y^2 = (2 - y)^2 = 4 - 4y + y^2.
Cancelando y^2 dos dois lados: 1 = 4 - 4y.
Isolando y: 4y = 4 - 1 = 3, então y = 3/4 = 0,75.
Substituindo y na expressão do raio: r = sqrt(1 + (3/4)^2) = sqrt(1 + 9/16) = sqrt(25/16) = 5/4 = 1,25.
Portanto, o raio da circunferência é 5/4.
Checagem dupla confirma que a alternativa correta é a letra d).
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