Questões Matemática Aritmética e Algebra
Antes da final do Novo Basquete Brasil, 9 pessoas foram convidadas a participar de u...
Responda: Antes da final do Novo Basquete Brasil, 9 pessoas foram convidadas a participar de uma apresentação na qual cada uma delas faria 8 arremessos livres à cesta. Dentre essas pessoas havia alguns pr...
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Por Ingrid Nunes em 31/12/1969 21:00:00
Gabarito: b)
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos 9 pessoas, entre profissionais e torcedores, que fizeram arremessos com os seguintes resultados: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 e 7.
Condições importantes:
1) Nenhum torcedor acertou mais arremessos do que qualquer profissional. Isso significa que o menor número de acertos entre os profissionais é maior ou igual ao maior número de acertos entre os torcedores.
2) Apenas 2 torcedores converteram o mesmo número de arremessos. Ou seja, entre os torcedores, há exatamente um par de números repetidos, e os demais são únicos.
3) Um torcedor converteu o mesmo número de arremessos que um profissional. Portanto, há pelo menos um número que aparece tanto entre torcedores quanto entre profissionais.
Vamos tentar distribuir os números entre profissionais (P) e torcedores (T).
Os números são: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7.
Como há uma repetição dupla entre torcedores, e apenas uma, o par de números repetidos entre torcedores deve ser um único par. Os números repetidos são 2 e 5.
Se os torcedores tivessem os dois 2, então os profissionais não poderiam ter 2, pois um torcedor e um profissional não podem ter o mesmo número de acertos, a menos que seja o único número compartilhado. Mas só pode haver um número compartilhado.
Se os torcedores tivessem os dois 5, então os profissionais não poderiam ter 5, pelo mesmo motivo.
Vamos supor que os torcedores tenham os dois 2. Então, o número compartilhado entre torcedor e profissional seria 3, 4, 5, 6 ou 7.
Mas o maior número de acertos dos torcedores não pode ser maior que o menor número dos profissionais.
Se os torcedores têm 1, 2, 2, 3, e o restante são profissionais, então os profissionais seriam 4, 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (repetidos), e um torcedor tem o mesmo número que um profissional? Sim, o número 5 aparece duas vezes entre profissionais, mas não entre torcedores, então não é compartilhado.
O número compartilhado deve ser um número que aparece tanto em torcedores quanto em profissionais.
Se os torcedores têm 2, 2, 3, 4, e os profissionais 5, 5, 6, 7, 1, isso não funciona porque 1 é menor que 2, e um torcedor não pode ter mais acertos que um profissional.
Tentando outra distribuição: torcedores com 1, 2, 2, 3, 4 e profissionais com 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e os profissionais têm 5, 5, 6, 7.
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional (máximo torcedor 4, mínimo profissional 5).
Mas não há número compartilhado entre torcedores e profissionais, o que viola a condição 3.
Agora, se os torcedores têm 1, 2, 2, 5 e os profissionais 3, 4, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e o número 5 aparece em ambos grupos (torcedor e profissional), satisfazendo a condição 3.
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional? O maior torcedor tem 5, e o menor profissional tem 3. Isso viola a condição 1, pois o torcedor tem mais que o profissional.
Portanto, não pode ser assim.
Se os torcedores têm 1, 2, 2, 3 e os profissionais 4, 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e o número 5 aparece em profissionais, mas não em torcedores, então não há número compartilhado.
Tentando torcedores com 1, 2, 3, 5 e profissionais com 2, 4, 5, 6, 7.
Torcedores têm números 1, 2, 3, 5 (não há repetição dupla entre torcedores, então não atende a condição 2).
Tentando torcedores com 1, 2, 2, 3 e profissionais com 4, 5, 5, 6, 7.
Conforme acima, não há número compartilhado.
Tentando torcedores com 1, 2, 2, 5 e profissionais com 3, 4, 5, 6, 7.
Já vimos que isso viola a condição 1.
Portanto, a única possibilidade que atende todas as condições é que os profissionais sejam 3, 4, 5, 6, 7 (5 profissionais) e os torcedores 1, 2, 2, 5 (4 torcedores).
Mas isso viola a condição 1, pois o torcedor com 5 acertou o mesmo que um profissional, mas não menos.
No entanto, a questão diz que nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, e um torcedor acertou o mesmo que um profissional. Então, o torcedor com 5 acertou o mesmo que um profissional com 5, o que é permitido.
O maior torcedor é 5, o menor profissional é 3, então nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional? Não, pois 5 é maior que 3.
Mas a questão diz que nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, ou seja, o maior torcedor não pode ser maior que o menor profissional.
Portanto, o menor profissional deve ser maior ou igual ao maior torcedor.
Se o maior torcedor é 5, o menor profissional deve ser 5 ou maior.
Se o menor profissional é 5, então os profissionais são 5, 5, 6, 7, e o torcedor com 5 está empatado com profissionais.
Então, profissionais: 5, 5, 6, 7 (4 profissionais)
Torcedores: 1, 2, 2, 3, 4 (5 torcedores)
Mas são 9 pessoas, então 4 profissionais e 5 torcedores.
Os torcedores têm dois 2 (única repetição), e um torcedor (com 5) converteu o mesmo número que um profissional (5).
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, pois o maior torcedor tem 4, e o menor profissional tem 5.
Mas o torcedor com 5 não existe aqui, então não atende a condição 3.
Portanto, a única solução que atende todas as condições é que haja 3 profissionais: 5, 6, 7 e 6 torcedores: 1, 2, 2, 3, 4, 5.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e um torcedor tem 5, que é igual a um profissional (5).
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, pois o maior torcedor é 5, e o menor profissional é 5.
Assim, o número de profissionais é 3.
Portanto, a resposta correta é a letra b) 3.
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos 9 pessoas, entre profissionais e torcedores, que fizeram arremessos com os seguintes resultados: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 e 7.
Condições importantes:
1) Nenhum torcedor acertou mais arremessos do que qualquer profissional. Isso significa que o menor número de acertos entre os profissionais é maior ou igual ao maior número de acertos entre os torcedores.
2) Apenas 2 torcedores converteram o mesmo número de arremessos. Ou seja, entre os torcedores, há exatamente um par de números repetidos, e os demais são únicos.
3) Um torcedor converteu o mesmo número de arremessos que um profissional. Portanto, há pelo menos um número que aparece tanto entre torcedores quanto entre profissionais.
Vamos tentar distribuir os números entre profissionais (P) e torcedores (T).
Os números são: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7.
Como há uma repetição dupla entre torcedores, e apenas uma, o par de números repetidos entre torcedores deve ser um único par. Os números repetidos são 2 e 5.
Se os torcedores tivessem os dois 2, então os profissionais não poderiam ter 2, pois um torcedor e um profissional não podem ter o mesmo número de acertos, a menos que seja o único número compartilhado. Mas só pode haver um número compartilhado.
Se os torcedores tivessem os dois 5, então os profissionais não poderiam ter 5, pelo mesmo motivo.
Vamos supor que os torcedores tenham os dois 2. Então, o número compartilhado entre torcedor e profissional seria 3, 4, 5, 6 ou 7.
Mas o maior número de acertos dos torcedores não pode ser maior que o menor número dos profissionais.
Se os torcedores têm 1, 2, 2, 3, e o restante são profissionais, então os profissionais seriam 4, 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (repetidos), e um torcedor tem o mesmo número que um profissional? Sim, o número 5 aparece duas vezes entre profissionais, mas não entre torcedores, então não é compartilhado.
O número compartilhado deve ser um número que aparece tanto em torcedores quanto em profissionais.
Se os torcedores têm 2, 2, 3, 4, e os profissionais 5, 5, 6, 7, 1, isso não funciona porque 1 é menor que 2, e um torcedor não pode ter mais acertos que um profissional.
Tentando outra distribuição: torcedores com 1, 2, 2, 3, 4 e profissionais com 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e os profissionais têm 5, 5, 6, 7.
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional (máximo torcedor 4, mínimo profissional 5).
Mas não há número compartilhado entre torcedores e profissionais, o que viola a condição 3.
Agora, se os torcedores têm 1, 2, 2, 5 e os profissionais 3, 4, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e o número 5 aparece em ambos grupos (torcedor e profissional), satisfazendo a condição 3.
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional? O maior torcedor tem 5, e o menor profissional tem 3. Isso viola a condição 1, pois o torcedor tem mais que o profissional.
Portanto, não pode ser assim.
Se os torcedores têm 1, 2, 2, 3 e os profissionais 4, 5, 5, 6, 7.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e o número 5 aparece em profissionais, mas não em torcedores, então não há número compartilhado.
Tentando torcedores com 1, 2, 3, 5 e profissionais com 2, 4, 5, 6, 7.
Torcedores têm números 1, 2, 3, 5 (não há repetição dupla entre torcedores, então não atende a condição 2).
Tentando torcedores com 1, 2, 2, 3 e profissionais com 4, 5, 5, 6, 7.
Conforme acima, não há número compartilhado.
Tentando torcedores com 1, 2, 2, 5 e profissionais com 3, 4, 5, 6, 7.
Já vimos que isso viola a condição 1.
Portanto, a única possibilidade que atende todas as condições é que os profissionais sejam 3, 4, 5, 6, 7 (5 profissionais) e os torcedores 1, 2, 2, 5 (4 torcedores).
Mas isso viola a condição 1, pois o torcedor com 5 acertou o mesmo que um profissional, mas não menos.
No entanto, a questão diz que nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, e um torcedor acertou o mesmo que um profissional. Então, o torcedor com 5 acertou o mesmo que um profissional com 5, o que é permitido.
O maior torcedor é 5, o menor profissional é 3, então nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional? Não, pois 5 é maior que 3.
Mas a questão diz que nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, ou seja, o maior torcedor não pode ser maior que o menor profissional.
Portanto, o menor profissional deve ser maior ou igual ao maior torcedor.
Se o maior torcedor é 5, o menor profissional deve ser 5 ou maior.
Se o menor profissional é 5, então os profissionais são 5, 5, 6, 7, e o torcedor com 5 está empatado com profissionais.
Então, profissionais: 5, 5, 6, 7 (4 profissionais)
Torcedores: 1, 2, 2, 3, 4 (5 torcedores)
Mas são 9 pessoas, então 4 profissionais e 5 torcedores.
Os torcedores têm dois 2 (única repetição), e um torcedor (com 5) converteu o mesmo número que um profissional (5).
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, pois o maior torcedor tem 4, e o menor profissional tem 5.
Mas o torcedor com 5 não existe aqui, então não atende a condição 3.
Portanto, a única solução que atende todas as condições é que haja 3 profissionais: 5, 6, 7 e 6 torcedores: 1, 2, 2, 3, 4, 5.
Aqui, os torcedores têm dois 2 (única repetição), e um torcedor tem 5, que é igual a um profissional (5).
Nenhum torcedor acertou mais que qualquer profissional, pois o maior torcedor é 5, e o menor profissional é 5.
Assim, o número de profissionais é 3.
Portanto, a resposta correta é a letra b) 3.
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