Letícia Cunha
31/12/1969 • 21:00
Gabarito: a)
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos dois amigos, cada um com idade entre 51 e 55 anos (mais de 50 e menos de 56).
Cada idade deve ser fatorada em exatamente dois fatores primos, e os quatro fatores primos envolvidos nas duas idades são todos distintos. Ou seja, se a idade de um amigo é p*q, a do outro é r*s, com p, q, r, s primos distintos entre si.
Primeiro, listamos os números entre 51 e 55: 51, 52, 53, 54, 55.
Agora, verificamos quais desses números têm exatamente dois fatores primos distintos:
- 51 = 3 * 17 (dois primos distintos)
- 52 = 2^2 * 13 (tem 2 como fator primo repetido, não são dois primos distintos)
- 53 = primo (apenas um fator primo)
- 54 = 2 * 3^3 (tem 2 e 3, mas 3 está elevado a 3, mas o problema não fala de multiplicidade, apenas de fatores primos distintos, então 54 tem 2 e 3 como fatores primos, dois fatores primos distintos)
- 55 = 5 * 11 (dois primos distintos)
Mas 54 tem 2 e 3, que já aparecem em 52 e 51. Vamos verificar as combinações possíveis com fatores primos distintos e que não se repetem entre as duas idades.
As idades possíveis com dois fatores primos distintos são: 51 (3,17), 54 (2,3), 55 (5,11).
Agora, precisamos escolher duas idades com fatores primos distintos entre si, ou seja, os quatro primos envolvidos são diferentes.
- Se escolhermos 51 (3,17) e 55 (5,11), os fatores primos são 3,17,5,11, todos distintos.
- Se escolhermos 54 (2,3) e 55 (5,11), os fatores primos seriam 2,3,5,11, todos distintos.
Mas 54 e 51 não podem ser juntos porque ambos têm o fator 3.
Agora, calculamos as somas:
- 51 + 55 = 106
- 54 + 55 = 109
Em ambos os casos, a soma é superior a 105.
Portanto, a afirmação de que a soma das idades é superior a 105 é correta.
Segunda checagem:
Não há outras idades entre 51 e 55 que tenham exatamente dois fatores primos distintos e que possam formar pares com fatores primos distintos entre si.
Assim, a soma das idades será sempre maior que 105.
Logo, a resposta correta é a) Certo.
Vamos analisar o problema passo a passo. Temos dois amigos, cada um com idade entre 51 e 55 anos (mais de 50 e menos de 56).
Cada idade deve ser fatorada em exatamente dois fatores primos, e os quatro fatores primos envolvidos nas duas idades são todos distintos. Ou seja, se a idade de um amigo é p*q, a do outro é r*s, com p, q, r, s primos distintos entre si.
Primeiro, listamos os números entre 51 e 55: 51, 52, 53, 54, 55.
Agora, verificamos quais desses números têm exatamente dois fatores primos distintos:
- 51 = 3 * 17 (dois primos distintos)
- 52 = 2^2 * 13 (tem 2 como fator primo repetido, não são dois primos distintos)
- 53 = primo (apenas um fator primo)
- 54 = 2 * 3^3 (tem 2 e 3, mas 3 está elevado a 3, mas o problema não fala de multiplicidade, apenas de fatores primos distintos, então 54 tem 2 e 3 como fatores primos, dois fatores primos distintos)
- 55 = 5 * 11 (dois primos distintos)
Mas 54 tem 2 e 3, que já aparecem em 52 e 51. Vamos verificar as combinações possíveis com fatores primos distintos e que não se repetem entre as duas idades.
As idades possíveis com dois fatores primos distintos são: 51 (3,17), 54 (2,3), 55 (5,11).
Agora, precisamos escolher duas idades com fatores primos distintos entre si, ou seja, os quatro primos envolvidos são diferentes.
- Se escolhermos 51 (3,17) e 55 (5,11), os fatores primos são 3,17,5,11, todos distintos.
- Se escolhermos 54 (2,3) e 55 (5,11), os fatores primos seriam 2,3,5,11, todos distintos.
Mas 54 e 51 não podem ser juntos porque ambos têm o fator 3.
Agora, calculamos as somas:
- 51 + 55 = 106
- 54 + 55 = 109
Em ambos os casos, a soma é superior a 105.
Portanto, a afirmação de que a soma das idades é superior a 105 é correta.
Segunda checagem:
Não há outras idades entre 51 e 55 que tenham exatamente dois fatores primos distintos e que possam formar pares com fatores primos distintos entre si.
Assim, a soma das idades será sempre maior que 105.
Logo, a resposta correta é a) Certo.