Resolvendo-se a inequação log 2

Gabarito: c)

Vamos analisar a inequação log2(x) > log(x + 1). Primeiramente, é importante observar o domínio das funções logarítmicas envolvidas. Para log2(x), o argumento x deve ser maior que zero, ou seja, x > 0. Para log(x + 1), o argumento x + 1 deve ser maior que zero, ou seja, x > -1. Portanto, o domínio comum da inequação é x > 0, pois é a interseção dos dois domínios.

Como a base do logaritmo 2 é maior que 1, a função log2 é crescente. Assim, podemos aplicar a propriedade de que, para funções crescentes, log2(a) > log2(b) implica a > b, desde que a e b estejam no domínio.

No entanto, a inequação é log2(x) > log(x + 1), e o segundo logaritmo não tem base especificada. Geralmente, quando a base não é especificada, entende-se que é o logaritmo na base 10. Como as bases são diferentes, não podemos simplesmente comparar os argumentos diretamente.

Para resolver corretamente, podemos transformar ambos os logaritmos para a mesma base ou usar a definição de logaritmo. Vamos converter ambos para logaritmo natural (ln):

log2(x) = ln(x) / ln(2)
log(x + 1) = ln(x + 1) / ln(10)

A inequação fica:

ln(x)/ln(2) > ln(x + 1)/ln(10)

Multiplicando ambos os lados por ln(2)*ln(10) (positivos), temos:

ln(x) * ln(10) > ln(x + 1) * ln(2)

Como ln(2) ≈ 0,693 e ln(10) ≈ 2,302, a inequação é:

2,302 * ln(x) > 0,693 * ln(x + 1)

Dividindo ambos os lados por 0,693:

(2,302 / 0,693) * ln(x) > ln(x + 1)

Aproximadamente:

3,32 * ln(x) > ln(x + 1)

Agora, exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos, mas como os termos estão multiplicados, fica mais complexo. Outra forma é analisar a função f(x) = log2(x) - log(x + 1) e verificar onde ela é positiva.

Testando valores:

Para x = 1:
log2(1) = 0
log(2) ≈ 0,301
0 > 0,301? Não.

Para x = 2:
log2(2) = 1
log(3) ≈ 0,477
1 > 0,477? Sim.

Para x = 0,5:
log2(0,5) = -1
log(1,5) ≈ 0,176
-1 > 0,176? Não.

Portanto, a inequação é verdadeira para x > 1.

Assim, o conjunto solução é S = {x ∈ R | x > 1}, que corresponde à alternativa c).