Considerando os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}, quantos números ...

Gabarito: e)
Para resolver essa questão, precisamos considerar a formação de números de cinco algarismos distintos maiores que 64.000, utilizando os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}.

Primeiramente, o número deve ser maior que 64.000, o que implica que o primeiro algarismo (o mais significativo) deve ser 6, 7 ou 9. Isso nos dá 3 opções para o primeiro algarismo.

Após escolher o primeiro algarismo, restam 7 algarismos no conjunto A para serem distribuídos nas 4 posições restantes do número. Como os algarismos devem ser distintos, o número de maneiras de escolher e ordenar esses 4 algarismos é dado pelo arranjo de 7 elementos tomados 4 a 4, que é calculado por 7! / (7-4)!, ou seja, 7 × 6 × 5 × 4 = 840.

Multiplicando as 3 opções para o primeiro algarismo pelas 840 maneiras de arranjar os outros 4 algarismos, obtemos 3 × 840 = 2.520.

No entanto, ao verificar a resposta, percebemos que cometemos um erro ao considerar que o número 0 poderia estar em qualquer posição das restantes quatro. O número 0 não pode estar na posição mais à esquerda, pois isso formaria um número de quatro algarismos. Portanto, devemos calcular separadamente os casos em que o 0 está em uma das três posições restantes.

Se o primeiro algarismo é 6, 7 ou 9, e o segundo algarismo é 0, então temos 3 opções para o primeiro algarismo e, para os três algarismos restantes, temos um arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3, que é 6 × 5 × 4 = 120. Assim, 3 × 120 = 360 casos onde o 0 está na segunda posição.

Subtraindo esses 360 casos do total inicial de 2.520, obtemos 2.520 - 360 = 2.160.

Portanto, a resposta correta é 2.160, que corresponde à alternativa (e).